LA 4728 (旋转卡壳) Squares

题意：

求平面上的最远点对距离的平方。

分析：

对于这个数据量枚举肯定是要超时的。

首先这两个点一定是在凸包上的，所以可以枚举凸包上的点，因为凸包上的点要比原来的点会少很多，可最坏情况下的时间复杂度也是O(n²).

于是就有了旋转卡壳。

可以想象有两条平行直线紧紧地夹住这个凸包，那直线上的点就是对踵点对。对踵点对最多有四对，就是当凸包的两边和两直线重合的情况。

直线的角度不断变化，直线上的对踵点对也会发生变化，当直线旋转过180°后，那么凸包上所有的对踵点对也就全部遍历到了。

代码中还有很详细的注释。

里面是利用比较△(u, u+1, v) 和 △(u, u+1, v+1)的面积大小来寻找对踵点对的。因为是凸多边形，所以面积的比较转化成了两个叉积的比较，最后化简成了一个叉积P_uP_u+1×P_vP_v+1。

直接从化简出来的结果来看，如果两个向量的叉乘大于0的话，说明v正在远离直线P_uP_u+1，如果小于0的话说明正在靠近直线，也很容易理解。

 //#define LOCAL
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 using namespace std;

 struct Point
 {
     int x, y;
     Point(int x=, int y=):x(x), y(y){}
 };
 typedef Point Vector;

 Point operator + (Point a, Point b) { return Point(a.x+b.x, a.y+b.y); }
 Point operator - (Point a, Point b) { return Point(a.x-b.x, a.y-b.y); }
 int Dot(Vector A, Vector B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }
 int Cross(Vector A, Vector B) { return A.x*B.y - A.y*B.x; }

 bool operator < (const Point& a, const Point& b)
 {
     return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
 }

 bool operator == (const Point& a, const Point& b)
 {
     return a.x == b.x && a.y == b.x;
 }

 int Dist2(const Point& a, const Point& b)
 { return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y); }

 vector<Point> ConvexHull(vector<Point>& p)
 {
     sort(p.begin(), p.end());
     p.erase(unique(p.begin(), p.end()), p.end());

     int n = p.size();
     int m = ;
     vector<Point> ch(n+);
     for(int i = ; i < n; ++i)
     {
         while(m >  && Cross(ch[m-]-ch[m-], p[i]-ch[m-]) <= ) m--;
         ch[m++] = p[i];
     }
     int k = m;
     for(int i = n-; i >= ; --i)
     {
         while(m > k && Cross(ch[m-]-ch[m-], p[i]-ch[m-]) <= ) m--;
         ch[m++] = p[i];
     }
     if(n > ) m--;
     ch.resize(m);
     return ch;
 }

 int diameter2(vector<Point>& points)
 {
     vector<Point> p = ConvexHull(points);
     int n = p.size();
     //for(int i = 0; i < n; ++i)    printf("%d %d\n", p[i].x, p[i].y);
     if(n == )    return ;
     if(n == )  return Dist2(p[], p[]);
     p.push_back(p[]);
     int ans = ;
     for(int u = , v = ; u < n; ++u)
     {// 一条直线贴住边p[u]-p[u+1]
         while(true)
         {
             // 当Area(p[u], p[u+1], p[v+1]) <= Area(p[u], p[u+1], p[v])时停止旋转
             //因为两个三角形有一公共边，所以面积大的那个点到直线距离大
             // 即Cross(p[u+1]-p[u], p[v+1]-p[u]) - Cross(p[u+1]-p[u], p[v]-p[u]) <= 0
             // 根据Cross(A,B) - Cross(A,C) = Cross(A,B-C)
             // 化简得Cross(p[u+1]-p[u], p[v+1]-p[v]) <= 0
             int diff = Cross(p[u+]-p[u], p[v+]-p[v]);
             if(diff <= )
             {
                 ans = max(ans, Dist2(p[u], p[v]));
                 if(diff == )    ans = max(ans, Dist2(p[u], p[v+]));
                 break;
             }
             v = (v+)%n;
         }
     }
     return ans;
 }

 int main(void)
 {
     #ifdef LOCAL
         freopen("4728in.txt", "r", stdin);
     #endif

     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         int n, x, y, w;
         scanf("%d", &n);
         vector<Point> p;
         for(int i = ; i < n; ++i)
         {
             scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
             p.push_back(Point(x, y));
             p.push_back(Point(x+w, y));
             p.push_back(Point(x+w, y+w));
             p.push_back(Point(x, y+w));
         }
         printf("%d\n", diameter2(p));
     }

     return ;
 }

代码君