CCF-NOIP-2018 提高组(复赛) 模拟试题(七)

T1 Adjoin

【问题描述】

定义一种合法的$0-1$串：串中任何一个数字都与$1$相邻。例如长度为$ 3 的 0-1 $串中，$101$是非法的，因为两边的$1$没有相邻的$1，011$是合法的，因为三个数都有$1$相邻。现在问，长度为$N$的$0-1$中有多少是合法的。

【输入格式】

一行，一个整数$N$

【输出格式】

一行，合法$0-1$串的个数，答案对$1000000007$取模。

【样例1】

样例输入
3

样例输出
3

样例说明

$110、111、011$是所有长度为$3$的合法$0-1$串

数据规模与约定

所有测试点的数据规模与约定如下：

$30\%$输入数据，保证$n<=50。$

$60\%$输入数据，保证$ n<=5000$

$80\%$输入数据，保证$ n<=1000000$

$100\%$输入数据，保证$ 1<=n<=10^{18}$

题解

一道很经典的需要反向优化的题目。我们首先考虑暴搜得到较小范围内每一个$n$所对应的答案，如下所示

i	f[i]
1	0
2	1
3	3
4	4
5	5
6	9
7	16
8	25
9	29
10	54

然而直接观察数据似乎没有什么明显的规律。于是我们选择将奇偶数分开判断。经过一段时间的观察，似乎所有的数满足这样一个规律：$$f[i]=\begin{cases}

0 & i=1\

1 & i=2\

f[i-1]+f[i-2] & i%2=0\

f[i-1]+f[i-2]+(flag=1)?-2:2 & i%2=1\

\end{cases}

\[其中我们将flag的初值赋为1，在每碰到一个奇数时为其取反即可。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000005
const long long mod = 1000000007;
using namespace std;
long long n;
long long dp[maxn];
bool flag=1;
int main(){
//freopen("adjoin.in","r",stdin);
//freopen("adjoin.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n;
dp[1]=0;
dp[2]=1;
for(register long long i=3;i<=n;i++){
if(i%2==0)dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
else{
if(flag){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+2;
flag=0;
}
else{
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]-2;
flag=1;
}
}
//cout<<dp[i]<<endl;
dp[i]%=mod;
}
//for(register long long i=3;i<=n;i++)cout<<dp[i]<<endl;
cout<<dp[n]%mod<<endl;
return 0;
}
```
这时我们就拥有了85分的总分。最大数据范围为$n\le 10^{18}$，早已超出了$O(n)$的复杂度能到达的极限。此时，我们思考所有和动态规划有关的优化。经过一番思索后，我们会发现只有矩阵优化稍微与目前的$dp$有点联系。然而矩阵优化要求使用通项公式，而我们当前只有一个递推式。那么我们现在考虑将方程式**反向优化，从一维方程变为三维方程，使整个式子具有通项公式，再使用矩阵优化来降低整体的复杂度**。想到了这一点后，实现起来应该并不难。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define RG register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000010;
const int mod = 1e9+7;
const int P = 1e9+7;
ll n;
struct Matrix {
ll val[4][4];
} A, I, ans;
Matrix operator*(const Matrix &A,const Matrix &B){
Matrix C;
for(int i = 0;i < 4;i++)
for(int j = 0;j < 4;j++){
C.val[i][j] = 0;
for(int k = 0;k < 4;k++)
C.val[i][j] = (1ll * A.val[i][k] * B.val[k][j] + C.val[i][j]) % P;
}
return C;
}
Matrix fpm(Matrix x, long long y){
Matrix ret = I;
while(y){
if(y & 1) ret = ret * x;
x = x*x;
y >>= 1;
}
return ret;
}

int main(){
freopen("adjoin.in","r",stdin);
freopen("adjoin.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
if(n == 1){
puts("0");
return 0;
}
for(int i = 0;i < 4;i++){
for(int j = 0;j < 4;j++){
I.val[i][j] = (i == j ? 1 : 0);
A.val[i][j] = 0;
}
}
ans.val[0][0] = 0;
ans.val[0][1] = 1;
ans.val[0][2] = 0;
ans.val[0][3] = 1;
A.val[2][0] = A.val[0][1] = A.val[2][1] = A.val[3][2] = A.val[1][3] = A.val[3][3] = 1;
A = fpm(A,n-2);
ans = ans * A;
ll ansss = (ans.val[0][2] + ans.val[0][3]) % mod;
printf("%lld",ansss);
return 0;
}
```
### T2 Sorting
#### 【问题描述】
小F不喜欢递减，他会想尽一切办法将看到的一切东西排序！
现在小F得到了一个数列，他当然要将这个数列排序了，但他太累了，以至于最多只能交换其中两个元素，如果这样不能使得这个数列不递减，他就要先睡觉了。你能告诉他是否可行吗？
#### 【输入格式】
第一行：一个整数N表示小F的数列中数的个数。
第二行，N个正整数，描述小F的数列。
#### 【输出格式】
一行，YES或NO，表示通过一次“最多交换其中两个元素（可以不交换）”的操作，是否可使得小F的数列不递减。
#### 【样例1】
|样例输入
|-
|3
|1 3 1

|样例输出
|-
|YES

#### 数据规模与约定
$30\%的数据，N ≤ 10^2 。$
$60\%的数据，N ≤ 10^4 。$
$100\%的数据，N ≤ 10^5 ，所有数为正整数且在longint范围内。$
#### 题解
是的，本蒟蒻又一次和AC插肩而过。拿到这道题时，大多数人都会联想到逆序对和最长不降子序列问题，然而几组充分设置的样例就可以卡掉这两种思路，使得其得分甚至不如60分的暴力。
附六十分的暴力写法
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
puts("YES");
return 0;
}
```
对于**LIS**来说，改变一个数有时可以导致多对大小关系的改变；对于逆序对来说，逆序对个数不一定可以决定最终大小关系。对两种思路最好的反驳样例如下：
|5 3 2
|-
在排除了这样的思路后，蒟蒻的我开始思考自己的做法。我们直接从头往后寻找第一对不满足条件的组合$a_i,a_{i-1}$。此时我们取出$a_i$，从头往后将其与第一个大于他的值交换。此时我们再重新在原串中查找是否存在不合法情况，若存在则输出NO，否则输出YES。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
inline char get(){
static char buf[30],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,30,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline long long read(){
register char c=get();register long long f=1,_=0;
while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
return _*f;
}
long long n;
long long a[maxn];
long long ans=0;
bool cd=1;
int main(){
//freopen("sorting.in","r",stdin);
//freopen("sorting.out","w",stdout);
n=read();
for(register long long i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
for(register long long i=2;i<=n;i++){
if(a[i]<a[i-1]){
for(register long long j=1;j<=n;j++){
if(a[j]>a[i]){
swap(a[i],a[j]);
goto next;
}
}
}
}
next:;
for(register long long i=2;i<=n;i++){
if(a[i]<a[i-1]){
puts("NO");
return 0;
}
}
puts("YES");
return 0;
}
```
为什么我们选择了这样一个奇怪的算法呢？事实上，在比赛中选择算法的第一原则是能否证明其错误性。在这道题中，蒟蒻无法证明该算法是错误的，于是就这么得到了85分的安慰分。
其实题目已经提示得很明显了。Sorting，就是在暗示我们进行一次排序操作。我们只需要比较排序前后的两个两个序列，若其中同一位置不一样的元素的个数在两个以内（一次交换最多导致4对大小关系发生改变），则输出YES，否则就记其为非法情况，输出NO。
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[2111111],a[2111111];
int n;
int main(){
freopen("sorting.in","r",stdin);
freopen("sorting.out","w",stdout);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[i]=a[i];
sort(b+1,b+1+n);
int len=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[i]!=b[i])len++;
if(len>2){
cout<<"NO"<<endl;
return 0;
}
}
cout<<"YES"<<endl;
return 0;
}
```
### T3 Editor
#### 【问题描述】
小$F$有一个梦想：为数列写一个最强大的编辑器！
一开始，数列为空，光标在开头位置，小F的编辑器要对这个数列作如下五种操作：
**I x**：在光标的后面插入一个数字x，并将光标移到这个新加入的$x$后。
**D**：删除光标前的最后一个数字（保证存在），光标位置不变。
**L**：光标左移一位，如果已经在开头则不做任何事。
**R**：光标右移一位，如果已经在结尾则不做任何事。
**Q k**：编辑器需要给出$A_1,A_2 ··· A_k$的最大前缀和（前缀长度不能为0），保证$1 ≤ k ≤ N$，其中$N$为当
前光标前的数字个数。
#### 【输入格式】
第一行，一个整数$Q$，表示操作的总次数。
后$Q$行，每行是上列五种操作中的一种。
#### 【输出格式】
对每个$Q$操作，输出一行一个整数，表示答案。
#### 【样例输入1】
|
|-
|8
|I 2
|I -1
|I 1
|Q 3
|L
|D
|R
|Q 2

#### 【样例输出1】
|样例输出
|:-
|2
|3

#### 【数据规模与约定】
$ 1\le q \le 1000000，-1000 \le m \le 1000 $
#### 【题解】
模拟题，注意一下优化就好。本蒟蒻的代码风格太丑因此在此不予贴出。\]