HDU 5179 beautiful number 数位dp

题目链接：

hdu: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5179

bc(中文): http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_chineseproblem.php?cid=569&pid=1002

题解：

1、数位dp

dp[i][j]表示第i位的数值为j的时候所有合法的情况，转移方程为dp[i][j]+=dp[i-1][k](j%k==0)数位最多为10位，可以离线处理出来。

计算1到x（x十进制按位存储在arr[]里面）的所有合法情况：

对于第i位，另前面几位等于arr[j](j>i)，第i位为k<arr[i]，则满足条件arr[i+1]%k==0的都是合法的,累加起来即可，然后考虑完i位之后，继续讨论i-1位，一直做下去。

0要单独讨论，假设x的长度为tot，则考虑最高位dp[tot-1][0]（位数为第0位到第tot-1位）就是所有位数比tot小的合法数的总数，所以只要考虑最高位的0就可以了，其他位都不用考虑0。

区间[L,R]可以考虑为[1,R]-[1,L-1]。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 typedef long long LL;

 int a, b;

 LL dp[][];
 void get_dp() {
     memset(dp, , sizeof(dp));
     dp[][] = ;
     for (int i = ; i < ; i++) dp[][i] = ;
     for (int i = ; i < ; i++) {
         for (int j = ; j < ; j++) {
             for (int k = ; k <= ; k++) {
                 if (j%k == ) {
                     dp[i][j] += dp[i - ][k];
                 }
             }
             if (j == ) dp[i][j] += dp[i - ][j];
         }
     }
 }

 int arr[];
 LL solve(int x) {
     if (x == ) return ;
     LL ret = ;
     int tot = ;
     memset(arr, , sizeof(arr));
     while (x) {
         arr[tot++] = x % ;
         x /= ;
     }
     ret += dp[tot - ][];
     for (int i = tot - ; i >= ; i--) {
         if (arr[i] == ) break;
         //表示从前几位不变第i位开始变小的所有合法数字
         for (int j = arr[i] - ; j >= ; j--) {
             if (arr[i + ] % j == ) {
                 ret += dp[i][j];
             }
         }
         //最后一个数可以相等了，收尾了
         if (i ==  && arr[i + ] % arr[i] == ) ret += dp[i][arr[i]];
         //说明第i位不变的话就不可能合法了，不用继续做下去。
         if (arr[i + ] % arr[i] != ) break;
     }
     return ret;
 }

 int main() {
     get_dp();
     int tc;
     scanf("%d", &tc);
     while (tc--) {
         scanf("%d%d", &a, &b);
         LL ans = solve(b) - solve(a - );
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }

2、由于合法数不多，可以讨论离线暴力出一张表来，再二分答案。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 typedef long long LL;

 const int tab[] = {
     ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 };

 int solve(int x) {
     if (x == ) return ;
     return upper_bound(tab, tab+, x)-tab;
 }

 int a, b;

 int main() {
     int tc;
     scanf("%d", &tc);
     while (tc--) {
         scanf("%d%d", &a, &b);
         int ans = solve(b) - solve(a - );
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }

3、上一发正规模板化数位dp

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>
using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define mkp make_pair
#define lson (o<<1)
#define rson ((o<<1)|1)
#define mid (l+(r-l)/2)
#define sz() size()
#define pb(v) push_back(v)
#define all(o) (o).begin(),(o).end()
#define clr(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define bug(a) cout<<#a<<" = "<<a<<endl
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<(b);i++)
#define scf scanf
#define prf printf

typedef int LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<pair<int,int> > VPII;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const LL INFL=10000000000000000LL;
const double eps=1e-;

const double PI = acos(-1.0);

//start----------------------------------------------------------------------

LL dp[][];
int arr[],tot;
LL dfs(int len,int j, bool ismax,bool iszer) {
    if (len == ) {
        return 1LL;
    }
    if (!ismax&&dp[len][j]>=) return dp[len][j];

    LL res = ;
    int ed = ismax ? arr[len] : ;
    for (int i = ; i <= ed; i++) {
        if(iszer&&i==) {
            res+=dfs(len-,,ismax&&i==ed,iszer&&i==);
        } else {
            if(i==) continue;
            if(j==) {
                res+=dfs(len-,i,ismax&&i==ed,iszer&&i==);
            } else {
                if(j>=i&&j%i==) {
                    res+=dfs(len-,i,ismax&&i==ed,iszer&&i==);
                }
            }
        }

    }
    return ismax ? res : dp[len][j] = res;
}

LL solve(LL x) {
    tot = ;
    while (x) {
        arr[++tot] = x % ;
        x /= ;
    }
    return dfs(tot,,true,true);
}

int main() {
    clr(dp,-);
    int tc,kase=;
    scf("%d",&tc);
    while(tc--) {
        LL l,r;
        scf("%d%d",&l,&r);
        prf("%d\n",solve(r)-solve(l-));
    }
    return ;
}

//end-----------------------------------------------------------------------