HDU.3516.Tree Construction(DP 四边形不等式)

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贴个教程: 四边形不等式学习笔记

\(Description\)

给出平面上的\(n\)个点，满足\(X_i\)严格单增，\(Y_i\)严格单减。以\(x\)轴和\(y\)轴正方向作边，使这\(n\)个点构成一棵树，最小化树边边的总长。

\(Solution\)

考虑有两棵构造好的树，要合并这两棵树，要从右边的树中找一个最优点连到左边的树上

不难想到区间DP(真的想不到==)

\(f[i][j]\)表示将\([i,j]\)合并为一棵树的最小代价，那么有 \(f[i][j] = \min\{ f[i][k-1]+f[k][j]+cost(i,j,k) \}\)

\(cost(i,j,k)=X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]\) //ps: 当前左边树主干在 \(Xi\) 位置，且下部高度为 \(Y_{k-1}\)，合并后下部应为 \(Yj\)；另外肯定是拿右边树的最左上点合并啊

这个\(cost\)是三维的，证不了\(cost\)满足四边形不等式

那想下 决策应该是满足单调性的，即 \(P[i][j-1]\leq P[i][j]\leq P[i+1][j]\)

注意左端点应是\(\max(P[i][j-1],i+1)\)

\(f\)应该满足四边形不等式，不会证。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1005;
int n,X[N],Y[N],P[N][N],f[N][N];
inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now*f;
}
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) X[i]=read(),Y[i]=read();
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		for(int i=1; i<=n; ++i) P[i][i]=i, f[i][i]=0;
		for(int tmp,i=n-1; i; --i)
			for(int j=i+1; j<=n; ++j)
				for(int k=std::max(P[i][j-1],i+1); k<=P[i+1][j]; ++k)
					if(f[i][j]>(tmp=f[i][k-1]+f[k][j]+X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]))
						f[i][j]=tmp, P[i][j]=k;
		printf("%d\n",f[1][n]);
	}
	return 0;
}