最长公共子序列与最长公共字串 （dp）转载http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2的m次方个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2的m次)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划
假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现

 public static int lcs(String str1, String str2) {
     int len1 = str1.length();
     int len2 = str2.length();
     int c[][] = new int[len1+][len2+];
     for (int i = ; i <= len1; i++) {
         for( int j = ; j <= len2; j++) {
             if(i ==  || j == ) {
                 c[i][j] = ;
             } else if (str1.charAt(i-) == str2.charAt(j-)) {
                 c[i][j] = c[i-][j-] + ;
             } else {
                 c[i][j] = max(c[i - ][j], c[i][j - ]);
             }
         }
     }
     return c[len1][len2];
 }

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现

 public static int lcs(String str1, String str2) {
     int len1 = str1.length();
     int len2 = str2.length();
     int result = ;     //记录最长公共子串长度
     int c[][] = new int[len1+][len2+];
     for (int i = ; i <= len1; i++) {
         for( int j = ; j <= len2; j++) {
             if(i ==  || j == ) {
                 c[i][j] = ;
             } else if (str1.charAt(i-) == str2.charAt(j-)) {
                 c[i][j] = c[i-][j-] + ;
                 result = max(c[i][j], result);
             } else {
                 c[i][j] = ;
             }
         }
     }
     return result;
 }

例题

pat-C4 L2-008  最长对称的回文串

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=1e3+;
 char s1[N],s2[N];
 int dp[N][N];
 int main ()
 {
     gets (s1+);  strcpy(s2+,s1+);
     int len=strlen(s1+);
     reverse(s2+, s2++len);
     int ans=;
     for (int i=;i<=len;i++)
         for (int j=;j<=len;j++) {
             if (i==||j==) dp[i][j]=;
             else if (s1[i]==s2[j])  {
                 dp[i][j]=dp[i-][j-]+;
                 ans=max (ans,dp[i][j]);
             }
             else dp[i][j]=;
         }
     printf ("%d\n",ans);
     return ;
 }