【BZOJ-4455】小星星 容斥 + 树形DP
4455: [Zjoi2016]小星星
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一道容斥的好题
我们一共要满足两个限制:1.树中的一个点对应图中一个点,且一一对应 2.树中两点有边的,图中两点也对应有边
首先我们考虑最暴力的方法,如果同时满足两个限制,用$O(N^{N})$的时间去枚举,然后计数
那如果我们放宽一个限制,只统计满足限制2的数目,这显然可以用树形DP在$O(N^{3})$的时间里得到的
这里得到的是有$K$个点可以映射,但不保证$K$个点都被映射到,且不保证每个点只被映射一次
那么考虑用容斥去统计出答案,答案就是$Ans(N)-Ans(N-1)+Ans(N-2)-Ans(N-3)+Ans(N-4).....$
这样容斥的时候的枚举是$O(2^{N})$的
所以总的复杂度是$O(2^{N}×N^{3})$的
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}
while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
return x*f;
}
#define LL long long
#define MAXN 50
int N,M;
struct EdgeNode{int next,to;}edge[MAXN<<];
int head[MAXN],cnt=;
void AddEdge(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v;}
void InsertEdge(int u,int v) {AddEdge(u,v); AddEdge(v,u);}
LL dp[MAXN][MAXN],ans,now,tmp;
int lt[MAXN][MAXN],bin[MAXN],tot,a[MAXN];
void DFS(int now,int last)
{
for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
if (edge[i].to!=last) DFS(edge[i].to,now);
for (int i=; i<=tot; i++)
{
dp[now][i]=;
for (int j=head[now]; j; j=edge[j].next)
if (edge[j].to!=last)
{
tmp=;
for (int k=; k<=tot; k++)
if (lt[a[k]][a[i]]) tmp+=dp[edge[j].to][k];
dp[now][i]*=tmp;
}
}
}
int main()
{
N=read(),M=read();
for (int x,y,i=; i<=M; i++) x=read(),y=read(),lt[x][y]=lt[y][x]=;
for (int x,y,i=; i<=N-; i++) x=read(),y=read(),InsertEdge(x,y);
bin[]=; for (int i=; i<=N; i++) bin[i]=bin[i-]<<;
for (int i=; i<=bin[N]-; i++)
{
now=; tot=;
for (int j=; j<=N; j++) if (i&bin[j-]) a[++tot]=j;
DFS(,);
for (int j=; j<=tot; j++) now+=dp[][j];
if ((tot&)==(N&)) ans+=now; else ans-=now;
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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