【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数

1.gcd

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

2.扩展gcd )extend great common divisor

ll exgcd(ll l,ll r,ll &x,ll &y)
{
    if(r==){x=;y=;return l;}
    else
    {
        ll d=exgcd(r,l%r,y,x);
        y-=l/r*x;
        return d;
    }
}

3.求a关于m的乘法逆元

ll mod_inverse(ll a,ll m){
    ll x,y;
    if(exgcd(a,m,x,y)==)//ax+my=1
        return (x%m+m)%m;
    return -;//不存在
}

补充：求逆元还可以用$$ans = \frac{a}{b} \bmod m = (a \bmod (m\cdot b)) /b $$

4.快速幂quick power

ll qpow(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=;
    ll k=a;
    while(b){
        if(b&)ans=ans*k%m;
        k=k*k%m;
        b>>=;
    }
    return ans;
}

5.快速乘,直接乘会爆ll时需要它，也叫二分乘法。

ll qmul(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=;
    ll k=a;
    ll f=;//f是用来存负号的
    if(k<){f=-;k=-k;}
    if(b<){f*=-;b=-b;}
    while(b){
        if(b&)
            ans=(ans+k)%m;
        k=(k+k)%m;
        b>>=;
    }
    return ans*f;
}

6.中国剩余定理CRT (x=ai mod mi)

ll china(ll n, ll *a,ll *m) {
    ll M=,y,x=,d;
    for(ll i = ; i <= n; i++) M *= m[i];
    for(ll i = ; i <= n; i++) {
        ll w = M /m[i];
        exgcd(m[i], w, d, y);//m[i]*d+w*y=1
        x = (x + y*w*a[i]) % M;
    }
    return (x+M)%M;
}

7.筛素数，全局：int cnt,prime[N],p[N];

void isprime()
{
    cnt = ;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

8.快速计算逆元

补充：>>关于快速算逆元的递推式的证明<<　

void inverse(){
    inv[] = ;
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        if(i >= M) break;
        inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M;
    }
}

9.组合数取模

n和m 10^5时，预处理出逆元和阶乘

ll fac[N]={,},inv[N]={,},f[N]={,};
ll C(ll a,ll b){
    if(b>a)return ;
    return fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;
}
void init(){//快速计算阶乘的逆元
    for(int i=;i<N;i++){
        fac[i]=fac[i-]*i%M;
        f[i]=(M-M/i)*f[M%i]%M;
        inv[i]=inv[i-]*f[i]%M;
    }
}

n较大10^9，但是m较小10^5时，

ll C(ll n,ll m){
    if(m>n)return ;
    ll ans=;
    for(int i=;i<=m;i++)
        ans=ans*(n-i+)%M*qpow(i,M-,M)%M;
    return ans;
}

n和m特别大10^18时但是p较小10^5时用lucas

10.Lucas大组合取模　

#define N 100005
#define M 100007
ll n,m,fac[N]={};
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n)return ;
    return fac[n]*qpow(fac[m],M-,M)%M*qpow(fac[n-m],M-,M)%M;//费马小定理求逆元
}
ll lucas(ll n,ll m){
    if(!m)return ;
    return(C(n%M,m%M)*lucas(n/M,m/M))%M;
}
void init(){
    for(int i=;i<=M;i++)
        fac[i]=fac[i-]*i%M;
}

to be continued...