UVALive 7338 （树链剖分+线段树）

Problem Toll Management IV

题目大意

　　给一张n个点m条边的无向图，有边权。数据保证前n-1条边构成了一棵最小生成树。

　　要求对于每条边求出其边权上下最多浮动范围，使得最小生成树的形态不变（每次只改变一条边的权值）。

　　n<=10000,m<=1000000

解题分析

　　我们称在最小生成树上的边为实边，不在最小生成树上的边为虚边。

　　对于虚边u-->v，其权值一定可以无限增加。可以发现这条虚边不会影响u--v路径外的点所构成最小生成树的形态。假设u-->v路径上的边最大权值为w，那么当这条虚边的权值小于w时，那么这条虚边将会取代权值为w的边，成为实边。即这条虚边权值的下限为w。

　　对于实边u-->v，其权值一定可以无限减小。假设不选用这条实边，那么最小生成树将被分成两部分。那么连接这两部分的虚边将有可能替代这条实边。假设有可能的虚边中权值最小为w，那么这条实边的上限为w。

参考程序

 #include <map>
 #include <set>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cassert>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
 using namespace std;

 #define V 10008
 #define E 200008
 #define LL long long
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 #define clr(x,v) memset(x,v,sizeof(x));
 #define bitcnt(x) __builtin_popcount(x)
 #define rep(x,y,z) for (int x=y;x<=z;x++)
 #define repd(x,y,z) for (int x=y;x>=z;x--)
 const int mo  = ;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 const int INF = ;
 /**************************************************************************/
 int n,m,sum,cnt;
 int lt[V],dep[V],son[V],w[V],rk[V],fa[V],top[V],size[V];
 int a[E],b[E];

 struct line{
     int u,v,w,nt;
     line(int u=,int v=,int w=,int nt=):u(u),v(v),w(w),nt(nt){}
 }eg[E],EG[E];
 void add(int u,int v,int w){
     eg[++sum]=line(u,v,w,lt[u]); lt[u]=sum;
 }
 void dfs_1(int u){
     dep[u]=dep[fa[u]]+; size[u]=; son[u]=;
     for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
         int v=eg[i].v;
         if (v==fa[u]) continue;
         fa[v]=u;
         dfs_1(v);
         if (size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
         size[u]+=size[v];
     }
 }
 void dfs_2(int u,int tp){
     top[u]=tp; w[u]=++cnt; rk[cnt]=u;
     if (son[u]) dfs_2(son[u],tp);
     for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
         int v=eg[i].v;
         if (v==fa[u]||v==son[u]) continue;
         dfs_2(v,v);
     }
 }
 struct Segment_Tree{
     int mx[V<<],lazy[V<<];
     inline void pushup(int rt){
         mx[rt]=max(mx[rt<<],mx[rt<<|]);
     }
     inline void pushdown(int rt){
         if (lazy[rt]!=-INF){
             lazy[rt<<]=max(lazy[rt<<],lazy[rt]);
             lazy[rt<<|]=max(lazy[rt<<|],lazy[rt]);
             mx[rt<<]=max(mx[rt<<],lazy[rt]);
             mx[rt<<|]=max(mx[rt<<|],lazy[rt]);
             lazy[rt]=-INF;
         }
     }
     void build(int l,int r,int rt){
         mx[rt]=-INF; lazy[rt]=-INF;
         if (l==r) return;
         int m=(l+r)>>;
         build(lson);
         build(rson);
         pushup(rt);
     }
     void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){
         if (L<=l && r<=R){
             lazy[rt]=max(val,lazy[rt]);
             mx[rt]=max(mx[rt],val);
             return;
         }
         pushdown(rt);
         int m=(l+r)>>;
         if (L <= m) update(L,R,val,lson);
         if (m <  R) update(L,R,val,rson);
         pushup(rt);
     }
     int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
         if (L<=l && r<=R){
             return mx[rt];
         }
         pushdown(rt);
         int m=(l+r)>>;
         int res=-INF;
         if (L <= m) res=max(res,query(L,R,lson));
         if (m <  R) res=max(res,query(L,R,rson));
         return res;
     }
 }T1,T2;
 int find(int x,int y){
     int res=-INF;
     while (top[x]!=top[y]){
         if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
         res=max(res,T1.query(w[top[x]],w[x],,n,));
         x=fa[top[x]];
     }
     if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
     res=max(res,T1.query(w[x]+,w[y],,n,));
     return res;
 }
 void change(int x,int y,int val){
     while (top[x]!=top[y]){
         if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
         T2.update(w[top[x]],w[x],val,,n,);
         x=fa[top[x]];
     }
     if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
     T2.update(w[x]+,w[y],val,,n,);
 }
 int main(){
     int T,cas=;
     scanf("%d",&T);
     while (T--){
         clr(lt,); sum=; cnt=;

         scanf("%d%d",&n,&m);
         for (int i=;i<n;i++){
             int u,v,w;
             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
             add(u,v,w); add(v,u,w);
             EG[i]=line(u,v,w);
         }
         for (int i=n;i<=m;i++){
             int u,v,w;
             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
             EG[i]=line(u,v,w);
         }
         dfs_1();
         dfs_2(,);
         T1.build(,n,);
         T2.build(,n,);
         for (int i=;i<n;i++){
             if (dep[EG[i].u]>dep[EG[i].v]) swap(EG[i].u,EG[i].v);
             T1.update(w[EG[i].v],w[EG[i].v],EG[i].w,,n,);
         }
         for (int i=n;i<=m;i++){
             int tmp=find(EG[i].u,EG[i].v);
             b[i]=tmp==-INF?-:EG[i].w-tmp;
             change(EG[i].u,EG[i].v,-EG[i].w);
         }
         for (int i=;i<n;i++){
             int tmp=T2.query(w[EG[i].v],w[EG[i].v],,n,);
             a[i]=tmp==-INF?-:-tmp-EG[i].w;
         }
         LL res=;
         for (int i=;i<n;i++) res=res+1ll*i*a[i]+1ll*i*i*-;
         for (int i=n;i<=m;i++) res=res+1ll*i*-+1ll*i*i*b[i];

         printf("Case %d: %lld\n",++cas,res );
     }
 }