题面

Dilworth定理在数学理论中的序理论与组合数学中,Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。

反链是一种偏序集,其任意两个元素不可比;而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明,存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分,使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时,对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链,A一定是此序列中的最大反链。同样地,对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分,P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

另一种Dilworth定理的等价表述是:在有穷偏序集中,任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出,在此种情况下,一个偏序集具有有限的宽度w,当且仅当它可以划分为最少w条链。

对于dilworth定理,我的理解就是:
在一个序列中 最长下降子序列的个数(下降子序列的最小划分)就等于其最长不下降子序列的长度
  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. using namespace std;
  4. struct haha{
  5. int a;
  6. int b;
  7. }lala[];
  8. int n;
  9. inline bool cmp(haha x,haha y)
  10. {
  11. if(x.a==y.a) return x.b>y.b;
  12. return x.a>y.a;
  13. }
  14. int c[];
  15. inline int lowbit(register int x)
  16. {
  17. return x&(-x);
  18. }
  19. int maxn;
  20. inline int ask(register int x)
  21. {
  22. register int res=;
  23. while(x>){
  24. if(res<c[x]){
  25. res=c[x];
  26. }
  27. x-=lowbit(x);
  28. }
  29. return res;
  30. }
  31. inline void add(register int x,register int v)
  32. {
  33. while(x<=maxn){
  34. c[x]=max(c[x],v);
  35. x+=lowbit(x);
  36. }
  37. }
  38. int main()
  39. {
  40. cin>>n;
  41. for(register int i=;i<=n;i++){
  42. scanf("%d%d",&lala[i].a,&lala[i].b);
  43. maxn=max(maxn,lala[i].b);
  44. }
  45. sort(lala+,lala++n,cmp);
  46. register int ans=;
  47. for(register int i=;i<=n;i++){
  48. register int j=ask(lala[i].b)+;
  49. ans=max(ans,j);
  50. add(lala[i].b+,j);
  51. }
  52. cout<<ans;
  53. }

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