BZOJ 2330: [SCOI2011]糖果 [差分约束系统] 【学习笔记】

2330: [SCOI2011]糖果

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Description

幼儿园里有N个小朋友，lxhgww老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，lxhgww需要满足小朋友们的K个要求。幼儿园的糖果总是有限的，lxhgww想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

Input

输入的第一行是两个整数N，K。

接下来K行，表示这些点需要满足的关系，每行3个数字，X，A，B。

如果X=1，表示第A个小朋友分到的糖果必须和第B个小朋友分到的糖果一样多；

如果X=2，表示第A个小朋友分到的糖果必须少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=3，表示第A个小朋友分到的糖果必须不少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=4，表示第A个小朋友分到的糖果必须多于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=5，表示第A个小朋友分到的糖果必须不多于第B个小朋友分到的糖果；

Output

输出一行，表示lxhgww老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出-1。

【数据范围】

对于30%的数据，保证 N<=100

对于100%的数据，保证 N<=100000

对于所有的数据，保证 K<=100000，1<=X<=5，1<=A, B<=N

Source

Day1

以下自己的理解

一组类似最短路中的三角不等式的线性规划问题，用最短路算法求解

a-b<=c ----> d[v]<=d[u]+c

目标函数最短路啊你说目标函数是什么

然而我就这样做了之后，一直不过样例！

突然发现，他们都跑了最长路

原来：

差分约束系统中，求每个变量的最大值（这个最值是相对的，差分约束系统当其中一个变量的值确定其他的也会有确定的范围，比如d[s]确定）

就是用最短路按照<=建图

求最小值的话就是最长路了，按>=建图

总结：

①：对于差分不等式，a - b <= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最短路，得到的是最大值
②：对于不等式 a - b >= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最长路，得到的是最小值
③：存在负环(正环)的话是无解
④：求不出最短路（dist[ ]没有得到更新）的话是任意解

这些式子没必要记，建图的时候想三角不等式行了

为什么最短路反而是最大值呢？

回忆算法导论504页把最短路转换成线性规划形式时，d[t]是最大化的，因为这个线性规划求的是满足那些不等式的最大的d[t]，因为这个问题有实际意义如果最小的话 d[t]取-INF就好了，显然这样是错误的

在网上看到另一个想法：“求最短路是由无穷向下约束而得到的，所以得到的一定是最大值”

还有一个实现上的问题：

有必要加一个超级源来避免不连通吗？

没有，记得算法导论上有个思考题吗。和负环一样，把所有点加入队列d[i]=0就可以了

对于本题来说，因为至少一个糖果，所以d[i]=1

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+,M=1e5+,INF=1e9;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,x,a,b,s;
struct edge{
    int v,ne;
    double w;
}e[M<<];
int h[N],cnt=;
inline void ins(int u,int v,int w){
    cnt++;
    e[cnt].v=v;e[cnt].w=w;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;
}
int q[N],head,tail,inq[N],num[N],d[N];
inline void lop(int &x){if(x==N) x=;}
bool spfa(int s){
    for(int i=;i<=n;i++) d[i]=-INF;
    head=tail=;
    memset(inq,,sizeof(inq));
    memset(num,,sizeof(num));
    for(int i=;i<=n;i++) q[tail++]=i,inq[i]=,d[i]=;
    while(head!=tail){
        int u=q[head++];inq[u]=;lop(head);
        for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
            int v=e[i].v,w=e[i].w;
            if(d[v]<d[u]+w){
                d[v]=d[u]+w;
                if(!inq[v]){
                    inq[v]=,q[tail++]=v,lop(tail);
                    if(++num[v]>n) return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    n=read();m=read();s=;
    for(int i=;i<=m;i++){
        x=read();a=read();b=read();
 
        if(x==) ins(a,b,),ins(b,a,);
        else if(x==){if(a==b){puts("-1");return ;} ins(a,b,);}
        else if(x==) ins(b,a,);
        else if(x==){if(a==b){puts("-1");return ;} ins(b,a,);}
        else ins(a,b,);
    }
 
    if(spfa(s)) puts("-1");
    else{
        ll ans=;
        for(int i=;i<=n;i++) ans+=d[i];
        printf("%lld",ans);
    }
 
}