UOJ426. 【集训队作业2018】石像 [状压DP，min_25筛]

UOJ

思路

（以下思路是口胡，但正确性大概没有问题。）

刚学min_25筛的时候被麦老大劝来做这题？

结果发现这题是个垃圾二合一？？

简单推一下式子可以得到答案就是这个：

\[\sum_{T=1}^m (f*\mu)(T)\sum_{\{a_i\le m/T \}} \prod_i [a_{x_i}\le a_{y_i}]
\]

其中\(f(n)=(\sigma_0(n^3))^3\)。

通过手玩可以得到\((f*\mu)(p^c)=81c^2-27c+9,c\ne 0\)，于是可以min_25求前缀和。

现在问题转化为：对于一个给定的上界，求满足限制的\(\{a_n\}\)有几个。

先缩点。考虑枚举\(\{a_n\}\)中不同的\(a\)有几个，然后状压DP：设\(f_S\)表示从小到大放，当前已经放了\(S\)的方案数。我们做\(n\)次转移，做完\(i\)次之后\(f_U\)就是至多\(i\)个不同的\(a\)的方案数。

转移可以枚举子集，但显然会TLE。考虑一个点能被放上去当且仅当小于它的全都放上去了，于是有一个根据拓扑序转移的方法：

f[0]=1;
rep(i,1,n)
{
	repd(j,n,1)
	{
		int s=((1<<n)-1)^mp[j]^(1<<j-1);
		for(int k=s; ; k=(k-1)&s)
		{
			f[k^mp[j]^(1<<j-1)]+=f[k^mp[j]];
			if(!k) break;
		}
	}
	cur[i]=f[(1<<n)-1];
}

（麦老大nb!）

其中\(n\)的拓扑序最大，\(mp_j\)记录\(j\)直接连向的点。

最后对\(cur\)二项式反演一下就没了。

代码

咕咕咕