CodeForces - 83D:Numbers (数学&递归 - min25筛 )
pro:给定三个整数L,R,P求[L,R]区间的整数有多少个是以P为最小因子的。L,R,P<2e9;
sol:
一: 比较快的做法是,用函数的思想递归。
用solve(N,P)表示求1到N有多少数字多少个的最小因子是P;
1,首先P是合数,或者N<P;solve=0;
2,否则,如果P*P>=N;solve=1;
3,solve=N/P-solve(N/P,i); 2<=i<P
由于P主要分布在sqrt(N),而且N每次log级别减小,所以收缩得很快。具体的复杂度我证明不来,但是感觉过程和min25筛差不多。 (62ms
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
bool check(int P)
{
for(int i=;i*i<=P;i++)
if(P%i==) return false;
return true;
}
int solve(int N,int P)
{
if(!check(P)||N<P) return ;
if(N/P<P) return ;
int res=N/P;
rep(i,,P-) res-=solve(N/P,i);
return res;
}
int main()
{
int A,B,P;
scanf("%d%d%d",&A,&B,&P);
printf("%d\n",solve(B,P)-solve(A-,P));
return ;
}
二:当时还不流行min25筛,否则这题大部分人都可以套板子了。我们知道min25的过程其实就是每次可以得到最小素因子为p的数的个数(或者之和),所以改一下板子即可(128ms
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll int
const int maxn=;
ll Sqr,vis[maxn],pri[maxn],tot,m,id1[maxn],id2[maxn];
ll g[maxn],w[maxn]; //sp前i个素数之和。
void Sieve(int n)
{
tot=; vis[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
if(!vis[i]) pri[++tot]=i;
for(int j=;pri[j]<=n/i;j++){
vis[i*pri[j]]=;
if(i%pri[j]==) break;
}
}
}
bool check(int P)
{
for(int i=;i*i<=P;i++)
if(P%i==) return false;
return true;
}
ll solve(ll n,ll K)
{
if(n<K) return ;
if(!check(K)) return ;
if(K>n/K) return ;
Sqr=sqrt(n); Sieve(Sqr); ll res=; m=;
for(ll i=,j;i<=n;i=j+){
j=n/(n/i); w[++m]=n/i;
if(w[m]<=Sqr) id1[w[m]]=m;
else id2[n/w[m]]=m;
g[m]=w[m]-; //1到n的素数个数,先设为n-1(1不考虑
}
for(int j=;j<=tot;j++){
for(int i=;i<=m&&pri[j]<=w[i]/pri[j];i++){
int k=(w[i]/pri[j]<=Sqr)?id1[w[i]/pri[j]]:id2[n/(w[i]/pri[j])];
g[i]=g[i]-(g[k]-(j-));
if(pri[j]==K&&i==) res+=g[k]-(j-); //K去筛,[1,N]时
}
}
return res+;//加上素数自己
}
int main()
{
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",solve(r,k)-solve(l-,k));
return ;
}
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