POJ-1190-生日蛋糕（深搜，剪枝）

生日蛋糕

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Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 令Q = Sπ 。请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 （除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

Hint

圆柱公式

体积V = πR2H

侧面积A' = 2πRH

底面积A = πR2

分析

• 由于要计算表面积（露出来的），那么在一层一层的计算过程中，如果最下面的一层确定了，则上表面积就确定了，所以搜索框架从下到上。
• 搜索面对的状态有：正在搜索蛋糕第dep层，当前的外表面积，当前的体积，第dep+1层的高度和半径。
• 在第dep层时，要枚举所有符合要求的高度和半径
  • 半径：\(R\in[dep,min(\lfloor\sqrt{N-v}\rfloor,r[dep+1]-1)]\)
  • 高度：\(H\in[dep,min(\lfloor (N-v)/R^2\rfloor,h[dep+1]-1)]\)
  • 上面两个右边界的式子可以通过圆柱体积公式 \(\pi R^2H =\pi(N-v)\)
• 在上面确定的范围中，使用倒序枚举。R越大，表面积越小
• 可行性剪枝
  • 可以预处理出从上往下前 \(i(1\leq i\leq M)\) 层最小体积和侧面积.显然，当第 1~i 层的半径分别取 1，2，3，... ,i，高度也分别取 1，2，3，... ，i，时，有最小体积与侧面积。
  • 如果当前体积加上1~dep-1 层的最小体积大于N，可以剪枝。
• 最优性剪枝一，如果当前表面积s加上 1~dep-1 层的最小侧面积大于已经搜到的答案，或者当前体积加上1~dep-1 层的最大体积小于 v，剪枝
• 最优性剪枝二，通过转换可以得到 \(\frac{2(n-v)}{r[dep]} + s\) 大于已经搜到的答案时，可以剪枝。

#define MAX 19931117
int minv[30];
int mins = MAX;
int v,m;
int maxcake (int n, int lr, int lh)
{
    int ans = 0, i;
    for (i = n, lr--, lh--; i <= m; i++, lr--, lh--)
    {
        ans += lr * lr * lh;
        if (ans >= 10000 || lr * lr * lh >= 10000) return 10000;
    }
    return ans;
}

void dfs(int n,int lr,int lh,int uv,int us)
{
	if(us>=mins)return;
	if(uv+minv[m-n+1]>v|| uv + maxcake(n, lr, lh) < v)return;
	int r,h;
	if(n==m)
	{
		for(r = lr-1;r>=1;r--)
		{
			if((v-uv)%(r*r))continue;
			h=(v-uv)/(r*r);
			if(h>=lh)continue;
			mins = min(mins,us+2*r*h+(m==1?(r*r):0));
		}
		return;
	}
	else
	{
		for(r = lr-1;r>=m-n+1;r--)
		{
			for(h=min(lh - 1, (int)((v - uv) / (r * r))); h >= m - n + 1; h--)
			{
				if (n == 1) dfs(2, r, h, r * r * h, r * r + 2 * r * h);
                else dfs(n + 1, r, h, uv + r * r * h, us + 2 * r * h);
			}
		}
		return ;
	}
}
int main()
{
	cin>>v>>m;
	minv[0] = 0;
	for(int i = 1;i<=m;i++)
		minv[i] = minv[i-1]+i*i*i;
	dfs(1,101,10001,0,0);
	if(mins==MAX)
		cout<<0<<endl;
	else
		cout<<mins<<endl;
    return 0;
}