【BZOJ1492】货币兑换Cash(CDQ分治)
题意:
小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A 纪
念券(以下简称 A 券)和 B 纪念券(以下简称 B 券)。每个持有金券的顾客都有
一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动,两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券
当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 AK 和
BK (元/单位金券)。
为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法。
比例交易法分为两个方面:
a) 卖出金券:顾客提供一个[0,100]内的实数OP作为卖出比例,其意
义为:将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币;
b) 买入金券:顾客支付IP元人民币,交易所将会兑换给用户总价值为
IP的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK;
例如,假定接下来3天内的Ak 、Bk、Ratek 的变化分别为:
时间 Ak Bk Ratek
第一天 1 1 1
第二天 1 2 2
第三天 2 2 3
假定在第一天时,用户手中有100元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作:
时间 用户操作 人民币(元) A券的数量 B券的数量
开户 无 100 0 0
第一天 买入100元 0 50 50
第二天 卖出50% 75 25 25
第二天 买入60元 15 55 40
第三天 卖出100% 205 0 0
注意到,同一天内可以进行多次操作。
小 Y 是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。他还希望能够计算出来,如
果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能够获得多少元钱。
思路:转载自http://www.cnblogs.com/zig-zag/archive/2013/04/24/3039418.html
首先分析一下题目,对于任意一天,一定是贪心地买入所有货币或者卖出所有货币是最优的,因为有便宜我们就要尽量去占,有亏损就一点也不去碰。于是我们得到方程:
f[i]=max{f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*b[i]}
其中,x[j]=f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]表示第j天最多可以拥有的A货币的数量
y[j]=f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])表示第j天最多可以拥有的B货币的数量
那么方程可化简为f[i]=max{x[j]*a[i]+y[j]*b[i]},那么我们就是要选择一个最优的决策点(x[j],y[j])来更新f[i]得到最优解。
变形:y[j]=f[i]/b[i]-x[j]*a[i]/b[i],这是一个直线的斜截式方程,由于我们是用j去更新i,那么就相当于每次用一条斜率为-a[i]/b[i]的直线去切由若干(x[j],y[j])点组成的集合,能得到的最大截距的点,就是最优决策点,进一步,就是要维护一个由若干(x[j],y[j])点组成凸壳,因为最优决策点一定在凸壳上。
但是对于斜率-a[i]/b[i]和点(x[j],y[j])都是无序的,于是我们只能用一棵平衡树来维护凸壳,每次找到斜率能卡到的点(此点左侧的斜率和右侧的斜率恰好夹住-a[i]/b[i]斜率)。
具体splay实现:我们维护x坐标递增的点集,每次把新点插入到相应位置,更新凸壳的时候,分别找到新点左右能与它组成新的凸壳的点,把中间的点删掉;如果这个点完全在旧的凸壳内,那么把这个点删掉。每次找最优决策点的时候就拿-a[i]/b[i]去切凸壳就行了。
但这样搞实在是麻烦了许多,而且许多人得splay代码非常的长,在考场上就非常不容易写出来,于是出现了神一般的陈丹琪分治!
这个神级分治的精髓在于:变在线为离线,化无序为有序。
上面我们分析了,因为点和斜率都不是单调的,所以我们只能用一棵平衡树去维护。我们考虑导致无序的原因,是我们按照顺序依次回答了1..n的关于f值的询问。但是事实上我们并没有必要这么做,因为每个1..n的f[i]值,可能成为最优决策点一定在1..i范围内,而对于每个在1..i范围内的决策点,一定都有机会成为i+1..n的f值得最优决策点。这样1..i的f值一定不会受1..i的决策点的影响,i+1..n的点一定不会i+1..n的f值。于是可以分治!
对于一个分治过程solve(l,r),我们用l..mid的决策点去更新mid+1..r这部分的f值,这样递归地更新的话,我们一定可以保证在递归到i点的时候,1..i-1的点都已经更新过i点的f值了。我们看到,分治的过程中,左半区(l..mid)和右半区(mid+1..r)这两个区间的作用是不同的,我们要用左半区已经更新好的f值去求出点(x,y),然后用右半区的斜率去切左半区的点集更新f值。对于左半边我们需要的只是点(x,y),右半区我们需要的只是斜率-a[i]/b[i],两部分的顺序互不影响。于是,我们在处理好左半边的东西的时候保证点集按坐标排好序,在处理右半区之前保证询问按照斜率排好序,这样相当于用一系列连续变化的直线去切一些连续点组成的凸壳,那么我们就可以简单地用一个栈来维护连续点组成的凸壳,用扫描的方法更新f值。我们一开始就排好询问的顺序,然后保证在solve之前还原左半区询问集合的顺序,这样就保证了按照原顺序得到f值;在solve之后把两部分点集归并,这样就保证了每个过程中的点集是有序的。
const eps=1e-9;
type arr=record
x,y,rate,a,b,k:double;
id:longint;
end; var p,q:array[..]of arr;
stack:array[..]of longint;
dp:array[..]of double;
n,m,i,top:longint; function fabs(x:double):double;
begin
if x< then exit(-x);
exit(x);
end; function slope(x,y:longint):double;
begin
if fabs(y)<eps then exit(-1e20);
if fabs(q[x].x-q[y].x)<eps then exit(1e20);
exit((q[x].y-q[y].y)/(q[x].x-q[y].x));
end; function max(x,y:double):double;
begin
if x>y then exit(x);
exit(y);
end; procedure swap(var x,y:arr);
var t:arr;
begin
t:=x; x:=y; y:=t;
end; procedure cdq(l,r:longint);
var mid,l1,r1,i,j:longint;
begin
if l=r then
begin
dp[l]:=max(dp[l],dp[l-]);
q[l].y:=dp[l]/(q[l].rate*q[l].a+q[l].b);
q[l].x:=q[l].y*q[l].rate;
exit;
end;
mid:=(l+r)>>;
l1:=l; r1:=mid+;
for i:=l to r do
if q[i].id<=mid then
begin
p[l1]:=q[i]; inc(l1);
end
else
begin
p[r1]:=q[i]; inc(r1);
end;
for i:=l to r do q[i]:=p[i];
cdq(l,mid);
top:=;
for i:=l to mid do
begin
while (top>)and
(slope(stack[top-],stack[top])<slope(stack[top-],i)+eps) do dec(top);
inc(top);
stack[top]:=i;
end;
inc(top); stack[top]:=; j:=;
for i:=mid+ to r do
begin
while (j<top)and(slope(stack[j],stack[j+])+eps>q[i].k) do inc(j);
dp[q[i].id]:=max(dp[q[i].id],q[stack[j]].x*q[i].a+q[stack[j]].y*q[i].b);
end;
cdq(mid+,r);
l1:=l; r1:=mid+;
for i:=l to r do
if (((q[l1].x<q[r1].x)or((fabs(q[l1].x-q[r1].x)<eps)and
(q[l1].y<q[r1].y)))or(r1>r))and(l1<=mid) then
begin
p[i]:=q[l1]; inc(l1);
end
else
begin
p[i]:=q[r1]; inc(r1);
end;
for i:=l to r do q[i]:=p[i]; end; procedure qsort(l,r:longint);
var i,j:longint;
mid:double; begin
i:=l; j:=r; mid:=q[(l+r)>>].k;
repeat
while mid<q[i].k do inc(i);
while mid>q[j].k do dec(j);
if i<=j then
begin
swap(q[i],q[j]);
inc(i); dec(j);
end;
until i>j;
if l<j then qsort(l,j);
if i<r then qsort(i,r);
end; begin
assign(input,'bzoj1492.in'); reset(input);
assign(output,'bzoj1492.out'); rewrite(output);
readln(n,dp[]);
for i:= to n do
begin
read(q[i].a,q[i].b,q[i].rate);
q[i].k:=-q[i].a/q[i].b;
q[i].id:=i;
end;
qsort(,n);
cdq(,n);
writeln(dp[n]::);
close(input);
close(output);
end.
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