* SPOJ PGCD Primes in GCD Table (需要自己推线性筛函数,好题)
题目大意:
给定n,m,求有多少组(a,b) 0<a<=n , 0<b<=m , 使得gcd(a,b)= p , p是一个素数
这里本来利用枚举一个个素数,然后利用莫比乌斯反演可以很方便得到答案,但是数据量过大,完全水不过去
题目分析过程(从别人地方抄来的)
ans = sigma(p, sigma(d, μ(d) * (n/pd) * (m/pd)))
Let s = pd, then
ans = sigma(s, sigma(p, μ(s/p) * (n/s) * (m/s)))
= sigma(s, (n/s) * (m/s) * sigma(p, μ(s/p)))
Let g(x) = sigma(p, μ(x/p)), then
ans = sigma(s, (n/s) * (m/s) * g(s))
如果我们能预处理g(x)
的话就能和前面一样分块搞了。这个时候我们多么希望g(x)
和μ(x)
一样是积性函数。看完题解后,发现有一个不是积性函数,胜似积性函数的性质。由于题解没有给证明,所以就意淫了一个证明。
考虑质数p'
,g(p'x) = sigma(p | p'x, μ(p'x/p))
。
- 当
x % p' == 0
,那么考虑sigma中的变量p
的所有取值,它和g(x)
中p
是相同的。而μ(x)
这个函数,如果x
有平方因子的话就等于0,因此当p != p'
时μ(p'x/p) = 0
,当p == p'
是,μ(p'x/p) = μ(x)
。所以g(p'x) = μ(x)
。 - 当
x % p' != 0
,同样考虑p
,会发现它的取值只比g(x)
中的p
多出一个p'
。同理按照p
是否等于p'
讨论,可以得到g(p'x) = -g(x) + μ(x)
。
因此g(x)
可以在线性筛素数的时候算出。剩下的就是前缀和、分块了。
然后自己看了很久才表示看懂- - ,这里加上自己的理解更加便于阅读
因为我们根据线性筛法得到的莫比乌斯函数,欧拉函数这样的积性函数
所以我们也总是希望上方的g(x)也可以是积性函数方便在线性时间内计算出答案
对于一个积性函数来说,总是不断往前判断它乘上一个素数和当前的联系
列一个素数 p' 那么g(p'x)的结果分析
线性筛的中间过程总是判断当前 i % prime[j] 是否等于 0 , 所以这里也是判断当前x和p'的整除关系
1.x%p' = 0 , 那么说明x中必然有一个p'的因子 , 那么sigma(p | p'x, μ(p'x/p)) 中,如果列举的p!=p' , 说明此时 p'*p' | (p'*x/p) ,也就是有至少2个p'的素数因子,所以
mu[p'*x/p] = 0 , 唯一就只要考虑 p 取到 p'的时候 mu[p'*x/p] = mu[x] , 因为其他mu[]都为0->g(p'x)=mu[x]
2.x%p'!=0 , 那么对于先前所有的 x/p 来说,此时乘了p' , 若p!=p' , 那么因为多了一个因子 mu[p'*x/p] = -mu[x/p] , 所以在p!=p'时,所有的情况相加为-g(x),
在考虑枚举到的p'=p , mu[p'*x/p] = mu[x] , 所以所有答案叠加所得就是 -g[x]+mu[x]
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = ;
#define ll long long
int mu[MAXN+] , prime[MAXN/] , g[MAXN+] , sum[MAXN+];
bool check[MAXN+];
int tot; void getMu(int n)
{
memset(check , , sizeof(check));
tot=;
check[] = true , mu[]= , g[]=;
for(int i= ; i<=n ; i++){
if(!check[i]) prime[tot++]=i , mu[i]=- , g[i]=;
for(int j= ; j<tot ; j++){
if(i*prime[j]>n) break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j] == ){
mu[i*prime[j]] = ;
g[i*prime[j]]=mu[i];
break;
}
else mu[i*prime[j]] = -mu[i] , g[i*prime[j]]=-g[i]+mu[i];
}
}
sum[]=g[];
for(int i= ; i<=n ; i++) sum[i]=g[i]+sum[i-];
} void swap(int &x , int &y)
{
int t=x;
x=y , y=t;
} int main()
{
// freopen("a.in" , "r" , stdin);
getMu(MAXN);
int T , n , m;
scanf("%d" , &T);
while(T--)
{
scanf("%d%d" , &n , &m);
if(n>m) swap(n , m);
ll ans = ;
int la=;
for(int s= ; s<=n ; s=la+){
//这里分块的意思很明显,因为在一个区间内,n/s ,m/s 的取值是不会变的,所以我们不用连续计算
la = min(n/(n/s) , m/(m/s));
ans = ans + (ll)(n/s)*(m/s)*(sum[la]-sum[s-]);
}
printf("%lld\n" , ans);
}
return ;
}
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