严格次小生成树(lca + 倍增)
题目描述
小C最近学了很多最小生成树的算法,Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时,小P又来泼小C冷水了。小P说,让小C求出一个无向图的次小生成树,而且这个次小生成树还得是严格次小的,也就是说:如果最小生成树选择的边集是EM,严格次小生成树选择的边集是ES,那么需要满足:(value(e)表示边e的权值) ∑e∈EMvalue(e)<∑e∈ESvalue(e)
这下小 C 蒙了,他找到了你,希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含两个整数N 和M,表示无向图的点数与边数。 接下来 M行,每行 3个数x y z 表示,点 x 和点y之间有一条边,边的权值为z。
输出格式:
包含一行,仅一个数,表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
首先用kruskal做一下最小生成树,把这些边称为“树边”,其余的为”非树边“,将每一条边权为v的非树边加到生成树中,则形成一个环,设环上的最大边和次大边分别为val1,val2,则显然:
当 val1 < v 时 sum + v - val1 就是一个候选答案;
当 val1 = v 时 sum + v - val2 就是一个候选答案;
比较所有的候选答案,最小的即是该题的解。那么问题就转换成:如何求环上的最大边和次大边;
可以用lca来写,f[i][k]表示点i向上跳2的k次方所对应的点,dis1[i][k] 和 dis2[i][k] 分别表示点i向上跳2的k次方所对应的最大边和次大边,则显然:
f[i][k] = f[f[i][k - 1]][k - 1];
dis1[i][k] = max(dis1[i][k - 1],dis1[f[i][k - 1]][k - 1]);
if(dis1[i][k - 1] == dis1[f[i][k - 1]][k - 1])
dis2[i][k] = max(dis2[i][k - 1],dis2[f[i][k - 1]][k - 1]);
if(dis1[i][k - 1] > dis1[f[i][k - 1]][k - 1])
dis2[i][k] = max(dis2[i][k - 1],dis1[f[i][k - 1]][k - 1]);
if(dis1[i][k - 1] < dis1[f[i][k - 1]][k - 1])
dis2[i][k] = max(dis1[i][k - 1],dis2[f[i][k - 1]][k - 1]);
初值为:
f[i][] = father(i);
dis1[i][] = edge.v;
dis2[i][] = -INF(不存在)
最后求一下,时间为(mlogn + mlogm);
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 1000010
#define MAXM 100010 inline int read() {
int x = ,ff = ;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) {
if(ch == '-') ff = -;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)) {
x = (x << ) + (x << ) + (ch ^ );
ch = getchar();
}
return x * ff;
} ll sum = ;
int n,m,tem = INF,tot = ,cnt = ;
int vis[MAXN],fa[MAXN],lin[MAXN],deep[MAXN],f[MAXM][],dis1[MAXM][],dis2[MAXM][];
struct tree {
int x,y,v;
} t[MAXN];
struct edge {
int y,v,next;
} e[MAXN]; inline bool cmp(tree x,tree y) {
return x.v < y.v;
} inline int get(int x) {
return fa[x] == x ? x : (fa[x] = get(fa[x]));
} inline void add(int xx,int yy,int vv) {
e[++tot].y = yy;
e[tot].v = vv;
e[tot].next = lin[xx];
lin[xx] = tot;
} void Kruskal() {
sort(t + ,t + m + ,cmp);
for(int i = ; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
for(int i = ; i <= m && cnt < n - ; ++i) {
int x = get(t[i].x),y = get(t[i].y);
if(x != y) {
vis[i] = true;
sum += t[i].v;
fa[x] = y;
cnt++;
add(t[i].x,t[i].y,t[i].v);
add(t[i].y,t[i].x,t[i].v);
}
} } void BFS() {
queue < int > q;
q.push();
deep[] = ;
while(!q.empty()) {
int x = q.front();
q.pop();
for(int i = lin[x],y; i ; i = e[i].next) {
if(deep[y = e[i].y]) continue;
deep[y] = deep[x] + ;
f[y][] = x;
dis1[y][] = e[i].v;
dis2[y][] = -INF;
q.push(y);
for(int j = ; j <= ; ++j) {
f[y][j] = f[f[y][j - ]][j - ];
dis1[y][j] = max(dis1[y][j - ],dis1[f[y][j - ]][j - ]);
if(dis1[y][j - ] == dis1[f[y][j - ]][j - ])
dis2[y][j] = max(dis2[y][j - ],dis2[f[y][j - ]][j - ]);
if(dis1[y][j - ] > dis1[f[y][j - ]][j - ])
dis2[y][j] = max(dis2[y][j - ],dis1[f[y][j - ]][j - ]);
if(dis1[y][j - ] < dis1[f[y][j - ]][j - ])
dis2[y][j] = max(dis1[y][j - ],dis2[f[y][j - ]][j - ]);
} }
}
} int lca(int x,int y) {
if(deep[x] > deep[y]) swap(x,y);
for(int i = ; i >= ; --i)
if(deep[f[y][i]] >= deep[x])
y = f[y][i];
if(x == y) return x;
for(int i = ; i >= ; --i)
if(f[x][i] != f[y][i])
x = f[x][i],y = f[y][i];
return f[x][];
} void cal(int x, int fa, int v) {
int val1 = , val2 = ;
for(int i = ; i >= ; --i) {
if(deep[f[x][i]] >= deep[fa]) {
if (dis1[x][i] > val1) {
val2 = val1;
val1 = dis1[x][i];
}
val2 = max(val2, dis2[x][i]);
x = f[x][i];
}
}
if (val1 != v) tem = min(tem, v - val1);
else tem = min(tem, v - val2);
} int main() {
n = read();
m = read();
for(int i = ; i <= m; ++i) {
t[i].x = read();
t[i].y = read();
t[i].v = read();
}
Kruskal();
BFS();
for(int i = ; i <= m; ++i)
if(!vis[i]) {
int x = t[k].x,y = t[k].y;
int fat = lca(x,y);
cal(x,fat,v);
cal(y,fat,v);
}
printf("%lld\n",sum + tem);
return ;
}
.
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