【洛谷P3275】糖果

题目大意：维护 M 个差分约束关系，问是否可以满足所有约束，如果满足输出一组解。\(N<=1e5\)

题解：差分约束模型可以通过构建一张有向图来求解。是否满足所有约束可以利用 spfa 进行判断，但是这道题数据范围是 1e5，spfa 很可能会被卡。重新考虑无解的情况，若满足最短路约束，则图中存在负环无解，最长路约束的情况则是存在正环无解。可以利用这一性质，对整个有向图进行 scc 缩点，若一个强连通分量中的边权和大于 0，则无解。缩点之后，在 DAG 上执行 dp 即可求得一组符合条件的解。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
typedef long long ll;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch;
	do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(!isdigit(ch));
	do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(isdigit(ch));
	return f*x;
}

struct node{
	int nxt,to,w;
}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn];
inline void add_edge(int from,int to,int w){
	e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}

int n,m;
int dfs_clk,dfn[maxn],low[maxn],stk[maxn],top,in[maxn];
vector<pair<int,int>> G[maxn];
int scc,cor[maxn],size[maxn],indeg[maxn],dp[maxn];
queue<int> q;

void read_and_parse(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1,opt,x,y;i<=m;i++){
		opt=read(),x=read(),y=read();
		if(opt==1)add_edge(x,y,0),add_edge(y,x,0);
		else if(opt==2)add_edge(x,y,1);
		else if(opt==3)add_edge(y,x,0);
		else if(opt==4)add_edge(y,x,1);
		else if(opt==5)add_edge(x,y,0);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)add_edge(0,i,1);
}

void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++dfs_clk;
	stk[++top]=u,in[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v])tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(in[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		++scc;int v;
		do{
			v=stk[top--],in[v]=0;
			cor[v]=scc,++size[scc];
		}while(v!=u);
	}
}

void topo(){
	for(int i=1;i<=scc;i++)if(!indeg[i])q.push(i);
	while(q.size()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<G[u].size();i++){
			int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
			dp[v]=max(dp[v],dp[u]+w);
			if(!--indeg[v])q.push(v);
		}
	}
}

void solve(){
	tarjan(0);
	for(int u=0;u<=n;u++)
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].to,w=e[i].w;
			if(cor[v]==cor[u]){
				if(w)return (void)puts("-1");
				continue;
			}
			else G[cor[u]].push_back(make_pair(cor[v],w)),++indeg[cor[v]];
		}
	topo();
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=scc;i++)ans=ans+(ll)size[i]*dp[i];
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}