[笔记] 期望概率DP

线性高斯消元

模型概述

• 转移不是 DAG 的期望 DP。
• 成环的转移有特殊性质，如：只总父亲/根/儿子转移，只从左右转移……

处理方式

以只从父亲和儿子转移的期望 DP 为例：

\[f(x)=p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}f(son_i)+1
\]

那么可以设 \(f(x)=k\cdot f(fa)+b\)，终止状态为叶子节点，\(k,b\) 都已知，考虑其他情况：

\[f(x)=p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}(k_{son_i}f(x)+b_{son_i})+1\\
\]

代入之后解方程得：

\[f(x)=\frac{p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}b_{son_i}+1}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}}
\]

于是就得到：

\[k_x=\frac{p}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}},b_x=\frac{\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}b_{son_i}+1}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}}
\]

则可以倒推出 \(k,b\) 。

习题

HDU4035 Maze

HDU4652 Dice

ZOJ One Person Game

YZOJ7146 山泽麟迹