数值分析之数值积分 4.X

求积公式

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \sum_{k=0}^{n} A_{k} f\left(x_{k}\right)
\]

\(A_k\) 为求积系数, \(x_k\) 为求积节点

代数精度

定义

如果某个求积公式对于次数不超过 \(m\) 的多项式均能准确地成立, 但对于\(m+1\) 次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有 \(m\) 次代数精度

性质

\(n+1\) 个互异节点可唯一确定至少具有 \(n\) 次代数精度的求积公式

插值型求积公式

\[\begin{array}{l}
\int_{a}^{b} \rho(x) f(x) d x \approx \int_{a}^{b} \rho(x) L_{n}(x) d x \\
=\sum_{i=0}^{n}\left(\int_{a}^{b} \rho(x) l_{i}(x) d x\right) f\left(x_{i}\right)=\sum_{i=0}^{n} A_{i} f\left(x_{i}\right) \\
\text { 其中 } A_{i}=\int_{a}^{b} \rho(x) l_{i}(x) d x(i=0,1, \ldots, n)
\end{array}\]

\(l_{i}(x)\) 为第 \(i\) 个节点的拉格朗日插值基函数

此 (\(n+1\) 个节点的) 求积公式至少有 \(n\) 次代数精度的充要条件时, 它是插值型的

求积公式收敛性与稳定性

收敛性

在求积公式中, 若

\[\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ h \rightarrow 0}} \sum_{k=0}^{n} A_{k} f\left(x_{k}\right)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\]

其中

\[h=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}-x_{i-1}\right\}
\]

则称求积公式是收敛的.

稳定性

稳定性条件: 若求积公式中系数 \(A_k>0\), 则此求积公式是稳定的

牛顿-柯特斯公式 (也为插值型求积公式)

\(\boldsymbol{n}\) 阶 Newton-Cotes公式

\[\int_{a}^{b} f(x) d x \approx(b-a) \sum_{i=0}^{n} C_{i}^{(n)} f\left(x_{i}\right)
\]

令

\[ C_{i}^{(n)}=\frac{A_{i}}{b-a}=\frac{(-1)^{n-i}}{i !(n-i) ! n} \int_{0}^{n} \prod_{\substack{j=0 \\
j \neq i}}^{n}(t-j) d t \quad \text { 称为Cotes系数. }
\]

\[A_{i}=\frac{(-1)^{n-i} h}{i !(n-i) !} \int_{0}^{n} \prod_{\substack{j=0 \\
j \neq i}}^{n}(t-j) d t \quad(i=0: n)\]

\[A_{i}=\int_{a}^{b} l_{i}(x) d x=\frac{(-1)^{n-i} h}{i !(n-i) !} \int_{0}^{n} \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n}(t-j) \mathrm{d} t(i=0: n)
\]

将区间 \([\mathbf{a}, \mathrm{b}]\) \(n\) 等分, 取步长 \(h=\frac{b-a}{n}\) , 等距节点 \(x_{i}=a+i h(i=0: n)\) , 权函数 \(\rho(\boldsymbol{x}) \equiv 1\) . 令 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{t h}\) , 则 Lagrange揷值基函数为

\[l_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{t-j}{i-j} \quad(i=0: n)
\]

梯形公式 (1次代数精度)

当 \(n=1\) , \(C_{0}^{(1)}=C_{1}^{(1)}=\frac{1}{2}\)

辛普森公式 (3次代数精度)

当 \(n=2\), \(C_{0}^{(2)}=\frac{1}{6}, C_{1}^{(2)}=\frac{4}{6}, \quad C_{2}^{(2)}=\frac{1}{6}\)

\(S=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] .\)

柯特斯公式 (5次代数精度)

当 \(n=4\),Cotes 系数为 \(C_{0}^{(4)}=\frac{7}{90}, C_{1}^{(4)}=\frac{32}{90}, C_{2}^{(4)}=\frac{12}{90}, C_{3}^{(4)}=\frac{32}{90}, C_{4}^{(4)}=\frac{7}{90}\) 故求积公式为

\[\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{90}\left[7 f(a)+32 f\left(x_{1}\right)+12 f\left(x_{2}\right)+32 f\left(x_{3}\right)+7 f(b)\right]
\]

称为Cotes公式。

代数精度

当 \(n\) 为奇数, \(I_n(f)\) 有 \(n\) 次代数精度

当 \(n\) 为偶数, \(I_n(f)\) 至少有 \(n+1\) 次代数精度 (常用) \(n\) 为偶数的N-C公式

复合求积公式

起源:

1. N-C公式当 \(n\) 太大时不稳定
2. N-C公式当 \(n\) 太小时误差大

复合梯形公式

将区间 \([a, b]\) 划分为 \(n\) 等份, 分点 \(x_{k}=a+k h, h=\frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n\) , 在每个子区间 \(\left[x_{k}, x_{k+1}\right](k=0,1, \cdots, n-1)\)

\[T_{n}=\frac{h}{2} \sum_{k=0}^{n-1}\left[f\left(x_{k}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right]=\frac{h}{2}\left[f(a)+2 \sum_{k=1}^{n-1} f\left(x_{k}\right)+f(b)\right]
\]

复合梯形公式是 稳定的

复合辛普森求积公式

将区间 \([a, b]\) 分为 \(n\) 等份, 在每个子区间 \(\left[x_{k}, x_{k+1}\right]\) 上采用辛普森公式, 记 \(x_{k+1 / 2}=x_{k}+\frac{1}{2} h\)

\[\begin{aligned}
S_{n} &=\frac{h}{6} \sum_{k=0}^{n-1}\left[f\left(x_{k}\right)+4 f\left(x_{k+1 / 2}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right] \\
&=\frac{h}{6}\left[f(a)+4 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+1 / 2}\right)+2 \sum_{k=1}^{n-1} f\left(x_{k}\right)+f(b)\right],
\end{aligned}\]

复合辛普森求积公式是 稳定的