loj2511

引言

思维题。

这个做法跑得飞快，还不用 dp，也不是爆搜！

复杂度（可能）为 \(O(s^2t)\) 或 \(O(s^2)\)，实际效率也是飞快。

不过这题我直接提交答案了。

思路

考虑 \(A=mn,B=m+n\)。

假设 \(A\) 先手。

从 \(A\) 中枚举分解方案，假设有 \((m_1,n_1)(m_2,n_2)\cdots(m_k,n_k)\) 这些合法。

如 \(k>1\)，会说不知道，称这样的 \(A\) 构成集合 \(A_{>0}\)；否则知道，称这样的 \(A\) 构成集合 \(A_0\)。

对 \(B\) 分解，其有 \((s,B-s)(s+1,B-s-1)\cdots(\lfloor B/2\rfloor,\lceil B/2\rceil)\) 这些合法。

从中选出相乘为 \(A_0\) 中元素的数对，若唯一，记这样的 \(B\) 构成 \(B_0'\)，说明知道；若多于 \(1\) 个，则无法计算；若不存在，若解集大小为 \(1\)，则构成集合 \(B_0\)，说明知道；若解集大小大于 \(1\)，构成集合 \(B_{>0}\)。

对 \(B_0\) 集合类似地反推 \(A_1'\)，对 \(B_{>0}\) 反推出 \(A_1,A_{>1}\)。

刚才的描述不够清晰，让我们形式化地说：

\[\def\defeq{\mathop{=}\limits^{\operatorname{def}}}
\begin{array}{|l|}
\hline
X(A)\defeq\{(m,n)|s\le m\le n,mn=A\}\\
Y(B)\defeq\{(m,n)|s\le m\le n,m+n=B\}\\
A_{\ge0}\defeq\{A|X(A)\neq\varnothing\}\\
B_{\ge0}\defeq\{B|Y(B)\neq\varnothing\}\\\hdashline
A_0\defeq\{A|A\in A_{\ge0},|X(A)|=1\}\\
A_{\ge1}\defeq A_{\ge0}-A_0\\\hdashline
X_0\defeq\cup_{A\in A_0}X(A)\\
B_0'\defeq\{B|B\in B_{\ge0},|Y(B)\cap X_0|=1\}\\
B_0\defeq\{B|B\in B_{\ge0},|Y(B)-X_0|=1\}\\
B_{\ge1}\defeq\{B|B\in B_{\ge0},|Y(B)-X_0|>1\}\\\hdashline
Y_0\defeq\cup_{B\in B_0}Y(B)\\
A_1'\defeq\{A|A\in A_{\ge1},|X(A)\cap Y_0|=1\}\\
A_1\defeq\{A|A\in A_{\ge1},|X(A)-Y_0|=1\}\\
A_{\ge2}\defeq\{A|A\in A_{\ge1},|X(A)-Y_0|>1\}\\\hdashline
X_1\defeq\cup_{A\in A_1}X(A)\\
B_1'\defeq\{B|B\in B_{\ge1},|Y(B)\cap X_1|=1\}\\
B_1\defeq\{B|B\in B_{\ge1},|Y(B)-X_1|=1\}\\
B_{\ge2}\defeq\{B|B\in B_{\ge1},|Y(B)-X_1|>1\}\\\hdashline
\cdots\\
\hline
\end{array}
\]

查询 \(t=0\)，就是查询 \(A_0/B_0'\)；查询 \(t=1\)，就是查询 \(B_0/A_1'\)；查询 \(t=2\)，就是查询 \(A_1/B_1'\)；等等。

\(A_{\ge1}\) 就是 \(A\) 报了一次不知道后的可能集合；\(B_{\ge1}\) 就是 \(B\) 报了一次不知道后的可能集合；\(A_{\ge2}\) 就是 \(A\) 报了两次不知道后的可能集合；等等。

B 先手同理。

试看看！

你已经学会基本的思考方法了，让我们来做一些小练习吧！

实战一些数据。

测试点 \(2\)

1 Alice 2

对，先 \(2\) 再 \(1\)。

主要是因为啊，这个东西嘛，和我们刚刚说的一样，是 A 先手，不用重新转换视角。

对这种东西，我们可以考虑对下面的东西列表格：

\[f(A)=\max\{k|A\in A_{\ge k}\}
\]

\[g(B)=\max\{k|B\in B_{\ge k}\}
\]

这样的手算会简单一点。（？）

\[\begin{matrix}
\hline
n&1&2&3&4&5&6&7
\\\hline\hline
f(n)&0&0&0&1&0&\ge1&0
\\\hline
g(n)&-1&0&0&0&\ge1&\ge1&\ge1
\\\hline
\end{matrix}
\]

因此 \(m=1,n=4\) 最优。

测试点 \(1\)

1 Bob 2

反过来枚举顺序，即得如下。

\[\begin{matrix}
\hline
n&1&2&3&4&5&6&7
\\\hline\hline
f(n)&0&0&0&\ge1&0&\ge1&0
\\\hline
g(n)&-1&0&0&1&\ge1&\ge1&\ge1
\\\hline
\end{matrix}
\]

\(m=n=2\) 最优。

测试点 \(3\)

2 Bob 2

类似，但是要手枚更多项。

\[\begin{matrix}
\hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12
\\\hline\hline
f(n)&-1&-1&-1&0&-1&0&-1&0&0&0&-1&\ge1
\\\hline
g(n)&-1&-1&-1&0&0&1&1&\ge1&\ge1&&&
\\\hline
\end{matrix}
\]

\(m=3,n=4\) 最优。

注意不是 \(2,4\)——\(8\) 已经置 \(0\) 了！

测试点 \(4\)

11 Bob 2

已经不能指望手算了——刚刚的那组数据都很困难。

考虑代码实现以上过程。

\(t=2\) 时，\(B=m+n\) 在 \(4s\) 内较有可能，考虑仅计算 \(mn\le4s^2+100,m+n\le5s+100\) 的部分解集。

首先提取范围内的 \(A_{\ge0}\) 与 \(B_{\ge0}\)，并算出对应的 \(X(A),Y(B)\)。

然后枚举 \(B_0\)，得到 \(B_{\ge1}\)。

枚举 \(A_0\)，得到 \(A_{\ge1}\)。

枚举 \(B_1\)，进而得解。

成功地，给出了解 \(n=15,m=16\)。

测试点 \(5\)

18 Bob 2

这个给出的解为 \(n=21,m=24\)，交了一下是错的，是不是我们给的界不够大？

不是，其实是因为，我们没有再校验 \(A_1'\)！

在从 \(B_1\) 推断 \(A_1'\) 后，我们还要校验其合法性：\(A_1'\) 不一定可以被唯一决策！

验证完后即得正解 \(n=20,m=27\)。

测试点 \(6\sim10\)

28 Bob 2

28 Alice 2

57 Alice 2

111 Alice 2

200 Alice 2

把从 \(A\) 出发的情况实践一下容易依次得解。

这样我们就解决了 \(t=2\) 的部分（测试点 \(1\sim10\)），答案依次为

可以拿到 \(\rm40pts\)。

以下是暴力代码。

int main()

{

#ifdef MYEE

    freopen("QAQ.in","r",stdin);

    // freopen("QAQ.out","w",stdout);

#endif

    static chr Op[50];

    uint s,t;scanf("%u%s%u",&s,Op,&t);

    if(t!=2)exit(0);

    static std::vector<std::pair<uint,uint> >X[1000005],Y[1000005];

    uint Lim1=4*s*s,Lim2=5*s;

    for(uint m=s;m<=Lim2;m++)for(uint n=m;n*m<=Lim1&&n+m<=Lim2;n++){

        X[n*m].push_back({m,n});

        Y[n+m].push_back({m,n});

    }

    static bol Xi[1000005],Yi[1000005];

    std::vector<uint>Ag,Bg;

    for(uint i=1;i<=Lim1;i++)if(X[i].size())Ag.push_back(i),Xi[i]=1;

    for(uint i=1;i<=Lim2;i++)if(Y[i].size())Bg.push_back(i),Yi[i]=1;

    if(Op[0]=='B'){

        std::vector<uint>User;

        User.clear();

        for(auto b:Bg){

            uint c=0;

            for(auto g:Y[b])c+=Xi[g.first*g.second];

            if(c>=2)User.push_back(b);

            else Yi[b]=0;

        }

        Bg=User,User.clear();

        for(auto a:Ag){

            uint c=0;

            for(auto g:X[a])c+=Yi[g.first+g.second];

            if(c>=2)User.push_back(a);

            else Xi[a]=0;

        }

        Ag=User,User.clear();

        for(auto b:Bg){

            uint c=0;

            for(auto g:Y[b])c+=Xi[g.first*g.second];

            if(c==1)User.push_back(b);

            else Yi[b]=0;

        }

        for(auto b:User)for(auto g:Y[b])if(Xi[g.first*g.second]){

            uint c=0;

            for(auto p:X[g.first*g.second])c+=Yi[p.first+p.second];

            if(c==1){

                printf("%u %u\n",g.first,g.second);

                return 0;

            }

        }

    }

    else{

        std::vector<uint>User;

        User.clear();

        for(auto a:Ag){

            uint c=0;

            for(auto g:X[a])c+=Yi[g.first+g.second];

            if(c>=2)User.push_back(a);

            else Xi[a]=0;

        }

        Ag=User;

        User.clear();

        for(auto b:Bg){

            uint c=0;

            for(auto g:Y[b])c+=Xi[g.first*g.second];

            if(c>=2)User.push_back(b);

            else Yi[b]=0;

        }

        Bg=User,User.clear();

        for(auto a:Ag){

            uint c=0;

            for(auto g:X[a])c+=Yi[g.first+g.second];

            if(c==1)User.push_back(a);

            else Xi[a]=0;

        }

        uint x=-1,y=-1;

        for(auto a:User)for(auto g:X[a])if(Yi[g.first+g.second]){

            uint c=0;

            for(auto p:Y[g.first+g.second])c+=Xi[p.first*p.second];

            if(c==1){

                if(g.first+g.second<x+y||(g.first+g.second==x+y&&g.first<x))

                    x=g.first,y=g.second;

            }

        }

        printf("%u %u\n",x,y);

    }

    return 0;

}

测试点 \(11\sim25\)

看下面 \(5\) 组数据（\(11\sim15\)）。

1 Bob 3

69 Alice 3

147 Alice 4

88 Alice 5

109 Bob 6

考虑到刚刚的做法，其不能进一步应用于 \(t>2\)，主要是因为我们无法确定答案的值域，刚刚的做法是挂掉的（必须得有数目足够多的元素在外围“盖住”当前的答案，使得不会有更小解被误选择）。

我们猜测实际值域不会很大，尝试把刚才的过程再做几轮，试着跑一跑？

这部分代码如下：

int main()

{

#ifdef MYEE

    freopen("QAQ.in","r",stdin);

    // freopen("QAQ.out","w",stdout);

#endif

    static chr Op[50];

    uint s,t;scanf("%u%s%u",&s,Op,&t);

    if(t>6)exit(0);

    static std::vector<std::pair<uint,uint> >X[1000005],Y[1000005];

    uint Lim1=4*s*s+100,Lim2=5*s+100;

    for(uint m=s;m<=Lim2;m++)for(uint n=m;n*m<=Lim1&&n+m<=Lim2;n++){

        X[n*m].push_back({m,n});

        Y[n+m].push_back({m,n});

    }

    static bol Xi[1000005],Yi[1000005];

    std::vector<uint>Ag,Bg;

    for(uint i=1;i<=Lim1;i++)if(X[i].size())Ag.push_back(i),Xi[i]=1;

    for(uint i=1;i<=Lim2;i++)if(Y[i].size())Bg.push_back(i),Yi[i]=1;

    std::vector<uint>User;

    for(uint i=0;i<t;i++)if(!(i&1)==(*Op=='B')){

        for(auto b:Bg){

            uint c=0;

            for(auto g:Y[b])c+=Xi[g.first*g.second];

            if(c>=2)User.push_back(b);

            else Yi[b]=0;

        }

        Bg=User,User.clear();

    }

    else{

        for(auto a:Ag){

            uint c=0;

            for(auto g:X[a])c+=Yi[g.first+g.second];

            if(c>=2)User.push_back(a);

            else Xi[a]=0;

        }

        Ag=User,User.clear();

    }

    if((t&1)==(*Op=='B')){

        for(auto a:Ag){

            uint c=0;

            for(auto g:X[a])c+=Yi[g.first+g.second];

            if(c==1)User.push_back(a);

            else Xi[a]=0;

        }

        uint x=-1,y=-1;

        for(auto a:User)for(auto g:X[a])if(Yi[g.first+g.second]){

            uint c=0;

            for(auto p:Y[g.first+g.second])c+=Xi[p.first*p.second];

            if(c==1){

                if(g.first+g.second<x+y||(g.first+g.second==x+y&&g.first<x))

                    x=g.first,y=g.second;

            }

        }

        printf("%u %u\n",x,y);

    }

    else{

        for(auto b:Bg){

            uint c=0;

            for(auto g:Y[b])c+=Xi[g.first*g.second];

            if(c==1)User.push_back(b);

            else Yi[b]=0;

        }

        for(auto b:User)for(auto g:Y[b])if(Xi[g.first*g.second]){

            uint c=0;

            for(auto p:X[g.first*g.second])c+=Yi[p.first+p.second];

            if(c==1){

                printf("%u %u\n",g.first,g.second);

                return 0;

            }

        }

    }

    return 0;

}

依次分别得到

似乎……也不是很大？

交一下……是对的！

胆子放大点，继续来做 \(16\sim20\)！

把代码改一下，运行

4 Bob 7

117 Alice 8

161 Alice 9

134 Alice 10

77 Bob 11

得到输出

还是很小啊！

直接把剩下的（\(21\sim25\)）都跑一遍。

177 Bob 12

178 Bob 13

179 Bob 14

180 Bob 15

178 Alice 15

得到输出

直接就过了！！！

总复杂度不会证明，但应该是 \(O(s^2t)\) 或 \(O(s^2)\) 的。

Code

最终代码不给了，把上面那个 \(t\le6\) 的代码改一改就是了。

提交答案题一份代码速通的艺术是怎样的啊。

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