第五章 Logistic回归

假设现在有一些数据点,我们利用一条直线对这些点进行拟合(该线称为最佳拟合直线),这个拟合过程就称作回归。

为了实现Logistic回归分类器,我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数,然后把所有的结果值相加,将这个结果代入Sigmoid函数中,进而得到一个范围在0-1之间的数值。任何大于0.5的数据被分入1类,小于0.5即被归入0类。

1.Sigmoid函数的输入记为 (z),由下面的公式得出:

\[z = {\omega_0}{x_0} + {\omega _1}{x _1} + {\omega _2}{x _2} + ... + {\omega _n}{x _n}
\]

2.梯度算法的迭代公式为:

\[\omega = \omega + \alpha {\nabla _\omega }f(\omega )
\]

\[\theta _j = \theta _j + \alpha({y^i - h({x^i})}) * {x _j^i}
\]

3.Logistic回归梯度上升优化算法

原始数据:

Logistic回归梯度上升优化算法-python代码:

def loadDataSet():
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX)) def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = mat(dataMatIn) #convert to NumPy matrix
labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.001
maxCycles = 500 #迭代次数
weights = ones((n,1))
for k in range(maxCycles): #heavy on matrix operations
h = sigmoid(dataMatrix*weights) #matrix mult
error = (labelMat - h) #vector subtraction
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult 这是梯度上升公式更新参数
return weights #返回值为[w0,w1,w2]

在python提示符下,敲下如下代码:

dataArr, labelMat = logRegres.loadDataSet()
logRegres.gradAscent(dataArr, labelMat)
Out[12]:
matrix([[ 4.12414349],
[ 0.48007329],
[-0.6168482 ]])

4.分析数据:画出决策边界

** 画出数据集和Logistic回归最佳拟合直线的函数 **

def plotBestFit(weights):              #此处weights即为上面求出的[w0,w1,w2]
import matplotlib.pyplot as plt
dataMat,labelMat=loadDataSet()
dataArr = array(dataMat)
n = shape(dataArr)[0]
xcord1 = []; ycord1 = []
xcord2 = []; ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i])== 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2] # 0=w0x0+w1x1+w2x2 (x0=1) 此处x=x1;y=x2
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
plt.show()

在python提示符下,敲下如下代码:

logRegres.plotBestFit(weights.getA())  #getA() 将矩阵转化为数组array

运行结果为:

5.训练算法:随机梯度上升

改进算法,一次仅用一个样本点来更新回归系数——在线学习算法

** 随机梯度上升算法 **

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
weights = ones(n) #initialize to all ones
for i in range(m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error = classLabels[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights

在python提示符下,敲下如下代码:

weights = logRegres.stocGradAscent0(array(dataArr), labelMat)

运行结果为:

**改进的随机梯度上升算法 **

def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
m,n = shape(dataMatrix)
weights = ones(n) #initialize to all ones
for j in range(numIter):
dataIndex = range(m)
for i in range(m):
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001 #apha decreases with iteration, does not
randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
error = classLabels[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights
  1. 步长alpha每次迭代时都会调整,可以缓解数据波动或者高频扰动。且alpha会随着迭代次数不断减小,但永远不会减小到0(常数项)——可以保证多次迭代后新数据仍然有影响。如果要处理的问题是动态变化的,可以适当加大常数项,确保新值获得更大的回归系数。当( j << max(i) )时,步长alpha不是严格下降的。避免参数严格下降也常见于模拟退火等其他优化算法中。
  2. 随机选取样本值来更新回归系数。这种方法将减少周期性的波动——具体实现方法:每次随机从样本中选出一个值,更新回归系数后将其删除,再进行下一次迭代。

改进后回归系数变化情况

收敛速度更快,波动更小

在python提示符下,敲下如下代码:

dataArr, labelMat = logRegres.loadDataSet()
weights = logRegres.stocGradAscent1(array(dataArr), labelMat)
logRegres.plotBestFit(weights)

运行结果为:

6. 示例:从疝气病症预测病马的死亡率

Logistic回归分类函数

def classifyVector(inX, weights):
prob = sigmoid(sum(inX*weights))
if prob > 0.5: return 1.0
else: return 0.0 def colicTest():
frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
trainingSet = []; trainingLabels = []
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
trainingLabels.append(float(currLine[21]))
trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 1000) #计算回归系数
errorCount = 0; numTestVec = 0.0
for line in frTest.readlines():
numTestVec += 1.0
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
errorCount += 1
errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
print "the error rate of this test is: %f" % errorRate
return errorRate def multiTest(): #调用colicTest()10次并求平均值
numTests = 10; errorSum=0.0
for k in range(numTests):
errorSum += colicTest()
print "after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests))

在python提示符下,敲下如下代码:

logRegres.multiTest()

输出:

the error rate of this test is: 0.313433
the error rate of this test is: 0.402985
the error rate of this test is: 0.298507
the error rate of this test is: 0.402985
the error rate of this test is: 0.388060
the error rate of this test is: 0.313433
the error rate of this test is: 0.328358
the error rate of this test is: 0.343284
the error rate of this test is: 0.283582
the error rate of this test is: 0.388060
after 10 iterations the average error rate is: 0.346269

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