Longest Palindromic Substring-----最长回文子串

首先讲讲什么是回文, 看看Wiki是怎么说的：回文，亦称回环，是正读反读都能读通的句子。亦有将文字排列成圆圈者，是一种修辞方式和文字游戏。回环运用得当。能够表现两种事物或现象相互依靠或排斥的关系， 比方madam，abba，这样正反都一样的串就是回文串。

今天要写的问题了就是在一个字符串中找出最长的回文字串。比方串："abcdedabakml"。 他的最长回文字串就是"abcdedaba"。一般的方法有暴力法，动态规划法，今天来写一个时间复杂度为O(n)的算法。

回文匹配，普通情况会分奇数和偶数来分开进行设计算法来统计，今天介绍的算法又一次构造了一个字符串，这个新字符串消除了之前的奇偶区别，使得仅仅用设计一种算法就能够。

     1. 首先，构造新的字符串T

          构造方法：在原字符串S的首尾和每一个字符之间增加一个特殊字符'#', 比如S: abba， 则构造后为T: #a#b#b#a#(注：在程序中为防止越界会在首尾再加两个字符，即^#a#b#b#a#$);

     2. 关键算法：

          a[ ]: a[i]代表以位置 i 为中心向左向右可扩展的长度

          idx: 当前取得最大回文的中心位置

          R： 以 idx 为中心。向右扩展 p[idx] 位的最右位置

          j:  与 i 关于 idx 对称的位置

          

           i:   0  1 2 3 4 5 6 7 8 9

          T:  ^ # a # b # b # a # $

          a:     0 1 0 1  4 1 0 1 0

                             idx        R



          此算法的关键之处在于: 当 i<R时，a[i] 有例如以下简便计算公式 a[i] = min(R-i, a[j]):

              A. 当 R - i > a[j] 的时候，以T[j]为中心的回文子串包括在以T[mid]为中心的回文子串中，因为 i 和 j 对称，以T[i]为中心的回文子串必定包括在以T[mid]为中心的回文子串中，所以必有 a[i] = a[j], 例如以下图：此时a[i] = a[j] = 1;

             

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvc3dhZ2xl/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

           B. 当 R - i < a[j] 的时候，以T[j]为中心的回文子串不一定全然包括于以T[mid]为中心的回文子串中。可是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是同样的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到 R 的位置，也就是说 a[i] >= R-i。至于R之后的部分是否对称，就仅仅能老老实实去匹配了。

          

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvc3dhZ2xl/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

     3. 得到所求字符串

          找出 p[ ] 数组中最大的值及其下标，记为max和index。

          所求字符串为string(s, (index-1-max)/2, max)



     4. 实现算法：

          // Transform S into T.
          // For example, S = "abba", T = "^#a#b#b#a#$".
          // ^ and $ signs are sentinels appended to each end to avoid bounds checking
          string preProcess(string s) {
               int n = s.length();
               if (n == 0) return "^$";
               string ret = "^";
               for (int i = 0; i < n; i++)
                   ret += "#" + s.substr(i, 1);
               ret += "#$";
               return ret;
          }

          string longestPalindrome(string s) {
               string T = preProcess(s);
               int n = T.length();
               int *a = new int[n];
               int mid = 0, R = 0;
               for (int i = 1; i < n-1; i++) {
                    int j = 2*mid-i; // 找到i关于mid对称的位置
                    a[i] = (R > i) ? min(R-i, a[j]) : 0;
                    // Attempt to expand palindrome centered at i
                    while (T[i + 1 + a[i]] == T[i - 1 - a[i]])
                           a[i]++;
                    // If palindrome centered at i expand past R,
                    // adjust center based on expanded palindrome.
                    if (i + a[i] > R) {
                          mid = i;
                          R = i + a[i];
                    }
               }
               // Find the maximum element in a.
               int maxLen = 0;
               int centerIndex = 0;
               for (int i = 1; i < n-1; i++) {
                    if (a[i] > maxLen) {
                         maxLen = a[i];
                         centerIndex = i;
                     }
               }
               delete[] a;
               return s.substr((centerIndex - 1 - maxLen)/2, maxLen);
          }

參考文章：

http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-ii.html

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