Introduction to Mathematical Thinking - Week 6 - Proofs with Quantifieers

Mthod of proof by cases

证明完所有的条件分支，然后得出结论。

证明任意

使用任意

注意，对于一个任意的东西，你不知道它的具体信息。比如对于任意正数，你不知道它是 1 还是 2等等。

使用矛盾

证明相反的结论是错误的

归纳法

Prove the initial step, then apply to the induction step.

Prove the mathematical theorems

Assignment

解析：首先尝试找到 m, n 使得结论成立。因为 m, n 的范围是整数，所以 m, n 可以是负整数、0、正整数。令 m = n = 0，则结果为 0 = 0^2。

整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。--整数

解析：注意，n 表示的是前 n 个奇数。所以第 n 个奇数表示为 2n - 1(n >= 1 的整数)。而不是平常的 2k + 1 (k >=0 的整数)。

评分题

解析：没有弄清楚证明的格式是什么，

假设 A(n) 成立之后怎么到 A(n+1)，为什么要写 by the induction hypothesis，我看你前面都没写。

不能直接用算术式子，还要说明（不知道如何说明）

Clarity 与 Reasons 有什么不同

证明的格式

Proof: By mathematical indection.

For n = 1, ...

Assume the identity hold, for n, i.e. . f(n) is true, [want to deduce: f(n+1) is true]

... which is identity with n+1 in place of n.

Hence, by the principle of mathematical induction, the identity holds for all n.

Problem Set

Prove that the root of every prime number is irrational

之前证明根号2，根号3是无理数的推广。

证明视频

素数的算数定理

素数对于数论与一般数学的重要性来自于“算术基本定理”。该定理指出，每个大于1的整数均可写成一个以上的素数之乘积，且除了质约数的排序不同外是唯一的

寻找错误的言论

因为 a, b 属于 G 中的任意对象，所以 Now let c be any person in G other than a and b. 是错误的。