Dijkstra算法是最短路径算法中为人熟知的一种,是单起点全路径算法。该算法被称为是“贪心算法”的成功典范。本文接下来将尝试以最通俗的语言来介绍这个伟大的算法,并赋予java实现代码。

一、知识准备

1、表示图的数据结构

  用于存储图的数据结构有多种,本算法中笔者使用的是邻接矩阵。

  图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

设图G有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n的方阵,定义为:

  

从上面可以看出,无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴,右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

从这个矩阵中,很容易知道图中的信息。

(1)要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了;

(2)要知道某个顶点的度,其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或(第i列)的元素之和;

(3)求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍,arc[i][j]为1就是邻接点;

而有向图讲究入度和出度,顶点vi的入度为1,正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2,即第i行的各数之和。

  有向图的定义也类似,故不做赘述。

2、单起点全路径

    所谓单起点全路径,就是指在一个图中,从一个起点出发,到所有节点的最短路径。

3、图论的基本知识(读者需自行寻找相关资料)

4、互补松弛条件

 设标量d1,d2,....,dN满足

    dj<=di + aij,  (i,j)属于A,

 且P是以i1为起点ik为终点的路,如果

    dj = di + aij, 对P的所有边(i, j)

 成立,那么P是从i1到ik的最短路。其中,满足上面两式的被称为最短路问题的互补松弛条件。

二、算法思想

1、令G = (V,E)为一个带权无向图。G中若有两个相邻的节点,i和j。aij(在这及其后面都表示为下标,请注意)为节点i到节点j的权值,在本算法可以理解为距离。每个节点都有一个值di(节点标记)表示其从起点到它的某条路的距离。

  2、算法初始有一个数组V用于储存未访问节点的列表,我们暂称为候选列表。选定节点1为起始节点。开始时,节点1的d1=0, 其他节点di=无穷大,V为所有节点。
初始化条件后,然后开始迭代算法,直到V为空集时停止。具体迭代步骤如下:

   将d值最小的节点di从候选列表中移除。(本例中V的数据结构采用的是优先队列实现最小值出列,最好使用斐波那契对,在以前文章有过介绍,性能有大幅提示)。对于以该节点为起点的每一条边,不包括移除V的节点, (i, j)属于A, 若dj > di + aij(违反松弛条件),则令

  dj = di + aij    , (如果j已经从V中移除过,说明其最小距离已经计算出,不参与此次计算)

  可以看到在算法的运算工程中,节点的d值是单调不增的

  具体算法图解如下

  

三、代码实现

//接受一个有向图的权重矩阵,和一个起点编号start(从0编号,顶点存在数组中)
//返回一个int[] 数组,表示从start到它的最短路径长度  
public static int[] Dijsktra(int[][]weight,int start){
int length = weight.length;
int[] shortPath = new int[length];//存放从start到各个点的最短距离
shortPath[0] = 0;//start到他本身的距离最短为0
String path[] = new String[length];//存放从start点到各点的最短路径的字符串表示
for(int i=0;i<length;i++){
path[i] = start+"->"+i;
}
int visited[] = new int[length];//标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已经求出
visited[0] = 1;//start点的最短距离已经求出
for(int count = 1;count<length;count++){
int k=-1;
int dmin = Integer.MAX_VALUE;
for(int i=0;i<length;i++){
if(visited[i]==0 && weight[start][i]<dmin){
dmin = weight[start][i];
k=i;
}
}
//选出一个距离start最近的未标记的顶点 将新选出的顶点标记为以求出最短路径,且到start的最短路径为dmin。
shortPath[k] = dmin;
visited[k] = 1;
//以k为中间点,修正从start到未访问各点的距离
for(int i=0;i<length;i++){
if(visited[i]==0 && weight[start][k]+weight[k][i]<weight[start][i]){
weight[start][i] = weight[start][k]+weight[k][i];
path[i] = path[k]+"->"+i;
}
}
}
for(int i=0;i<length;i++){
System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为:"+path[i]+"="+shortPath[i]);
}
return shortPath; }

  这便是利用迪杰斯特拉算法实现最短路径的方法。

之后可以声明一个常量,例如:

static final int MAX = 10000;

然后在main方法里面建一个邻接矩阵,调用此方法即可。

public static void main(String[] args) {
int[][] weight = {
{0,3,2000,7,MAX},
{3,0,4,2,MAX},
{MAX,4,0,5,4},
{7,2,5,0,6},
{MAX,MAX,4,6,0}
};
int start = 0;
int[] dijsktra = Dijsktra(weight,start);
}

  参考自:http://www.cnblogs.com/junyuhuang/p/4544747.html

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