Manacher算法(马拉车)
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首先,得先了解什么是回文串(我之前就不是很了解,汗)。回文串就是正反读起来就是一样的,如“abba”。关于采用时间复杂度为O(n^2),以每个字符为中心去向两端遍历寻找最大回文串的方法,可以见我之前些的博客,戳这里!
当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”,之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况,会产生重复计算,然后就产生了一个问题,能否改进?答案是能,1975年,一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法,俗称马拉车算法,其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的,至于如何利用,且由后面慢慢道来。
在时间复杂度为O(n^2)的算法中,我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性,比如说“abba”的长度为偶数,“abcba”的长度为奇数,这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况,是否可以统一处理了?
马拉车算法:
一)第一步是改造字符串S,变为T,其改造的方法如下:
在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”,如:S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4,而T的长度为9,长度变为奇数了!!那S的长度为奇数的情况时,变化后的长度还是奇数吗?我们举个例子,S=“abcba”,变化为T=“#a#b#c#b#a#”,T的长度为11,所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数,这样就可以统一的处理奇偶的情况了。
二)第二步,为了改进回文相互重叠的情况,我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中,P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径,表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度,如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ],那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ],取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。举一个简单的例子感受一下:
数组P有一性质,P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ,那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度,至于证明,首先在转换得到的字符串T中,所有的回文字串的长度都为奇数,那么对于以T[i]为中心的最长回文字串,其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知,T中所有的回文子串,其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1,也就是有P[i]个分隔符,剩下P[i]-1个字符来自原字符串,所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心】
另外,由于第一个和最后一个字符都是#号,且也需要搜索回文,为了防止越界,我们还需要在首尾再加上非#号字符,实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符,结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0',等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。
三)如何求数组P [ ]
从左往右计算数组P[ ], Mi为之前取得最大回文串的中心位置,而R是最大回文串能到达的最右端的值。
1)当 i <=R时,如何计算 P[ i ]的值了?毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性,我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ,其值为 j= 2*Mi-i 。因,点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内([L ,R]),
a)那么如果P[j] <R-i (同样是L和j 之间的距离),说明,以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R],由回文串的特性可知,从左右两端向Mi遍历,两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ](这里得先从点j转到点i 的情况),如下图:
b)如果P[ j ]>=R-i (即 j 为中心的回文串的最左端超过 L),如下图所示。即,以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ,这种情况,等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗?显然不总是成立的!因,以点 j 为中心的回文串的最左端超过L,那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的,由回文串的特性可知,P[ i ] 至少等于R- i,至于是否大于R-i(图中红色的部分),我们还要从R+1开始一一的匹配,直达失配为止,从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。
2)当 i > R时,如下图。这种情况,没法利用到回文串的特性,只能老老实实的一步步去匹配。
相应的代码如下:
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
string Manacher(string s)
{
/**改造字符串*/
int len=s.size();
string res="$#";
for(int i=;i<len;i++)
{
res+=s[i];
res+='#';
}
// cout<<res<<endl; //改造后的串 /** 数组 */
vector<int>P(res.size(),);
int Mid=,R=;//Mid为当前选中的回文串的中心 R为当前选中的回文串能到达的最右端的位置
int maxLen=,maxPoint=;//最大回文串长度 最大回文串中心点
for(int i=;i<res.size();i++)
{
P[i]=R>i?min(P[*Mid-i],R-i):;
while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]]) P[i]++;//+个$的作用出来了 这样就不会越界了
if(R<i+P[i]) //超过了最右端 则改变中心点和对应的最右端
{
R=i+P[i];
Mid=i;
}
if(maxLen<P[i])//更新最大回文串长度 并记下此时的中心
{
maxLen=P[i];
maxPoint=i;
} }
// cout<<"*"<<maxLen<<endl;
return s.substr((maxPoint-maxLen)/,maxLen-); }
int main()
{
string s;
cin>>s;
cout<<Manacher(s)<<endl;
return ;
}
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