[BZOJ4842]Delight for a Cat[费用流]

题意

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分析

• 类似 最长k可重区间集 一题。

• 由于本题区间长度相同，首先可以将点的影响看成区间，区间看成点。

• 先默认所有位置选择事件2，选择区间看做改选事件1 。于是问题变成了求收益最大的方案使得每个点被覆盖次数满足 \(t1\le x\le k-t2\) 。

• 首先所有的区间连边 \(l\rightarrow r + 1\) ，容量为1，费用为 \(s_i-e_i\) 。然后考虑上限：连边 \(S\rightarrow 1\) ，容量为上限 \(k-t2\) ，费用为0。正确性考虑如下证明：

  每次贪心地选择一个没有交集的极大区间的集合，易知跨过每个点的区间每次至少被选走一个，所以所有合法方案都可以考虑到，且不会超过上限。

• 然后考虑下限：连边 \(i\rightarrow i+k\) ，由于要保证刚才 \(k-t2\) 的流量至少有 \(t1\) 从区间中流过，所以至多有 \(k-t2-t1\) 的流量从边 \(i\rightarrow i+k\) 中流过，故流量设置为 \(k-t2-t1\) ，费用为0。注意如果 \(i+k>n+1\) ，那么流量设置成无穷。

• 总时间复杂度为费用流复杂度。

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