【递推】地铁重组(subway) 解题报告

问题来源

BYVoid魔兽世界模拟赛

【问题描述】

蒙提在暴风城与铁炉堡之间的地铁站中工作了许多年，除了每天抓一些矿道老鼠外，没有其他的变化。然而最近地铁站终于要扩建了，因为侏儒们攻克了建设长距离穿海隧道的技术难题，矮人们制造的炸药威力也有了很大的增强。于是，联盟决定修建通往诺森德的地铁。拥有常年的地铁站工作经验的蒙提被派往了新的线路上，他的工作是进行地铁重组。

如上图，在左边部分停靠着N节车厢，从右向左标号依次为1、2、……、N。中间有一个停车轨道，这个轨道上最多只能同时停放P节车厢。现在需要将左边轨道上的车厢驶入右边的轨道。每节车厢必须进入一次停车轨道进行检修，然后才能去右边的轨道。侏儒制造的每节车厢都有完整的动力装置，不需要依赖车头的带动。对于一个给定的停车轨道的大小P和左边轨道的车厢的数目N，蒙提想知道，这些车厢到右边轨道以后，有多少种不同的排列顺序。

【输入格式】

第1行：两个整数N,P。

【输出格式】

第1行：一个整数a，为排列顺序数除以4096的余数。

【输入样例】

3 2

【输出样例】

4

【数据说明】

对于70%的数据
 
1 <= N <= 500
1 <= P <= 300
 
对于100%的数据
1 <= N <= 2000
1 <= P <= 2000

分析

以栈为基础的递推公式是这道题目中唯一的难点，因为代码中有足够多的注释我就不再作过多解释了。

 /*
 ID: ringxu97
 LANG: C++
 TASK: subway
 SOLUTION: 递推
 */
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<stack>
 #include<queue>
 using namespace std;
 //F[i][j]表示左边有i个 栈中有j个时的状态 最终状态为F[0][0]
 //F[i][j]=F[i+1][i-1]+F[i][i+1]
 const int maxn=+;
 const int MOD=;
 int n,p;
 int F[maxn][maxn];
 void solve()
 {
     for(int i=n-;i>=;--i)
     for(int j=min(p,n-i);j>=;--j)
     {
         F[i][j]=F[i][j+]%MOD;;
         if(j>)F[i][j]+=F[i+][j-]%MOD;;
         F[i][j]=F[i][j]%MOD;
     }
 }
 int main()
 {
     freopen("subway.in", "r", stdin);
     freopen("subway.out", "w", stdout);
     scanf("%d%d",&n,&p);
     F[n][]=;
     solve();
     printf("%d\n",F[][]%MOD);
     return ;
 }