P1714切蛋糕(不定区间最值)

题面

今天是小Z的生日，同学们为他带来了一块蛋糕。这块蛋糕是一个长方体，被用不同色彩分成了N个相同的小块，每小块都有对应的幸运值。

小Z作为寿星，自然希望吃到的第一块蛋糕的幸运值总和最大，但小Z最多又只能吃M小块(M≤N)的蛋糕。

吃东西自然就不想思考了，于是小Z把这个任务扔给了学OI的你，请你帮他从这N小块中找出连续的k块蛋糕(k≤M)，使得其上的幸运值最大。

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不定区间长度还是第一次遇到

分析 考虑朴素写法，非常直观。

对于以第i个元素结尾的子段，最大的子段和P(i)可以表示为

P [ i ] = max { sum [ i ] - sum [ j ] , j 属于 [ i-M, i-1 ]

于是有ans = max [ P [ i ] ]

算法的复杂度是O ( N M )

在题目的范围下TLE是必然的

将上面P[i]的计算式改写为

P [ i ] = sum [ i ] - min { sum [ j ] },j属于 [ i-M , i-1 ]

显然，在每次获取 P [ i ] 的时候，Sum [ i ] 是定值，所以 P [ i ] 由 Sum [ j ] 的最小值确定。

于是我们就要想方设法在优于O(M)的时间内实现获取最小的 Sum [ j ] 。

最优时，Sum [ j ] 的性质：

（1）Sum [ j ] ≤ Sum [ x ]  x∈ [ i-M , i-1 ]且x≠j

（2）j∈[ i-M , i-1 ]

枚举加优化

考虑设计这样一个数据结构，在更低的时间复杂度内获取最优Sum [ j ] 。

①单调队列

#include <iostream>
using namespace std;
#define max(a,b) (a>b?a:b)
const int maxn=;
int a[maxn],zhui[maxn];
int q[maxn],p[maxn],ans=-,spfa[maxn];
int main()
{
    int n,m,tail=,head=;
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        zhui[i]=zhui[i-]+a[i];
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(tail>=head&&q[tail]>=zhui[i])    tail--;
        q[++tail]=zhui[i];p[tail]=i;
        while(p[head]+m<=i)    head++;
        spfa[i]=q[head];
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
        ans=max(ans,zhui[i]-spfa[i-]);
    cout<<ans;
}

②ST稀疏表

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
int a[maxn],zhui[maxn];
int ans=-,dis[maxn][];
int query(int l,int r){
    int k=log2(r-l+);
    return min(dis[l][k],dis[r+-(<<k)][k]);
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int t;
        cin>>t;
        zhui[i]=zhui[i-]+t;
        dis[i][]=zhui[i];
    }
    for(int j=;j<=log2(n);j++)
    {
        for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
            dis[i][j]=min(dis[i][j-],dis[i+(<<(j-))][j-]);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int l=i-m;//等于是求i-m+1到第i项
        if(l<)        l=;
        ans=max(ans,zhui[i]-query(l,i));
    }
    cout<<ans;
}