HMM-前向后向算法

基本要素

• 状态 \(N\)个

• 状态序列 \(S = s_1,s_2,...\)

• 观测序列 \(O=O_1,O_2,...\)

• \(\lambda(A,B,\pi)\)

  • 状态转移概率 \(A = \{a_{ij}\}\)
  • 发射概率 \(B = \{b_{ik}\}\)
  • 初始概率分布 \(\pi = \{\pi_i\}\)

• 观测序列生成过程

  • 初始状态
  • 选择观测
  • 状态转移
  • 返回step2

HMM三大问题

• 概率计算问题（评估问题）

给定观测序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，模型 \(\lambda (A,B,\pi)\)，计算 \(P(O|\lambda)\)，即计算观测序列的概率

• 解码问题

给定观测序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，模型 \(\lambda (A,B,\pi)\)，找到对应的状态序列 \(S\)

• 学习问题

给定观测序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，找到模型参数 \(\lambda (A,B,\pi)\)，以最大化 \(P(O|\lambda)\)，

概率计算问题

给定模型 \(\lambda\) 和观测序列 \(O\)，如何计算\(P(O| \lambda)\)？

暴力枚举每一个可能的状态序列 \(S\)

• 对每一个给定的状态序列

  \[P(O|S,\lambda) = \prod^T_{t=1} P(O_t|s_t,\lambda) =\prod^T_{t=1} b_{s_tO_t}
  \]

• 一个状态序列的产生概率

  \[P(S|\lambda) = P(s_1)\prod^T_{t=2}P(s_t|s_{t-1})=\pi_1\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t}
  \]

• 联合概率

  \[P(O,S|\lambda) = P(S|\lambda)P(O|S,\lambda) =\pi_1\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t}\prod^T_{t=1} b_{s_tO_t}
  \]

• 考虑所有的状态序列

  \[P(O|\lambda)=\sum_S\pi_1b_{s_1O_1}\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t}b_{s_tO_t}
  \]

\(O\) 可能由任意一个状态得到，所以需要将每个状态的可能性相加。

这样做什么问题？时间复杂度高达 \(O(2TN^T)\)。每个序列需要计算 \(2T\) 次，一共 \(N^T\) 个序列。

前向算法

在时刻 \(t\)，状态为 \(i\) 时，前面的时刻观测到 \(O_1,O_2, ..., O_t\) 的概率，记为 \(\alpha _i(t)\) ：

\[\alpha_{i}(t)=P\left(O_{1}, O_{2}, \ldots O_{t}, s_{t}=i | \lambda\right)
\]

当 \(t=1\) 时，输出为 \(O_1\)，假设有三个状态，\(O_1\) 可能是任意一个状态发出，即

\[P(O_1|\lambda) = \pi_1b_1(O_1)+\pi_2b_2(O_1)+\pi_2b_3(O_1) = \alpha_1(1)+\alpha_2(1)+\alpha_3(1)
\]

当 \(t=2\) 时，输出为 \(O_1O_2\) ，\(O_2\) 可能由任一个状态发出，同时产生 \(O_2\) 对应的状态可以由 \(t=1\) 时刻任意一个状态转移得到。假设 \(O_2\) 由状态 1 发出，如下图

\[P(O_1O_2,s_2=q_1|\lambda) = \pi_1b_1(O_1)a_{11}b_1(O_2)+\pi_2b_2(O_1)a_{21}b_1(O_2)+\pi_2b_3(O_1)a_{31}b_1(O_2) \\=\bold{\alpha_1(1)}a_{11}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{21}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{31}b_1(O_2) = \bold{\alpha_1(2)}
\]

同理可得 \(\alpha_2(2),\alpha_3(2)\)

\[\bold{\alpha_2(2)} = P(O_1O_2,s_2=q_2|\lambda) =\bold{\alpha_1(1)}a_{12}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{22}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{32}b_1(O_2)\\\bold{\alpha_3(2)} = P(O_1O_2,s_2=q_3|\lambda) =\bold{\alpha_1(1)}a_{13}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{23}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{33}b_1(O_2)
\]

所以

\[P(O_1O_2|\lambda) =P(O_1O_2,s_2=q_1|\lambda)+ P(O_1O_2,s_2=q_2|\lambda) +P(O_1O_2,s_2=q_3|\lambda)\\= \alpha_1(2)+\alpha_2(2)+\alpha_3(2)
\]

所以前向算法过程如下：

​ step1：初始化 \(\alpha_i(1)= \pi_i*b_i(O_1)\)

​ step2：计算 \(\alpha(t) = (\sum^{N}_{i=1} \alpha_i(t-1)a_{ij})b_j(O_{t})\)

​ step3：\(P(O|\lambda) = \sum^N_{i=1}\alpha_i(t)\)

相比暴力法，时间复杂度降低了吗？

当前时刻有 \(N\) 个状态，每个状态可能由前一时刻 \(N\) 个状态中的任意一个转移得到，所以单个时刻的时间复杂度为 \(O(N^2)\),总时间复杂度为 \(O(TN^2)\)

后向算法

在时刻 \(t\)，状态为 \(i\) 时，观测到 \(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T\) 的概率，记为 \(\beta _i(t)\) ：

\[\beta_{i}(t)=P\left(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T | s_{t}=i, \lambda\right)
\]

当 \(t=T\) 时，由于 \(T\) 时刻之后为空，没有观测，所以 \(\beta_i(t)=1\)

当 \(t = T-1\) 时，观测 \(O_T\) ，\(O_T\) 可能由任意一个状态产生

\[\beta_i(T-1) = P(O_T|s_{t}=i,\lambda) = a_{i1}b_1(O_T)\beta_1(T)+a_{i2}b_2(O_T)\beta_2(T)+a_{i3}b_3(O_T)\beta_3(T)
\]

当 \(t=1\) 时，观测为 \(O_{2},O_{3}, ..., O_T\)

\[\begin{aligned}\beta_1(1) &= P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=1,\lambda)\\&=a_{11}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{12}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{13}b_3(O_2)\beta_3(2)\\\quad\\\beta_2(1) &= P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=2,\lambda)\\&=a_{21}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{22}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{23}b_3(O_2)\beta_3(2)\\\quad\\\beta_3(1) &=P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=3,\lambda)\\&=a_{31}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{32}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{33}b_3(O_2)\beta_3(2)\end{aligned}
\]

所以

\[P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|\lambda) = \beta_1(1)+\beta_2(1)+\beta_3(1)
\]

后向算法过程如下：

​ step1：初始化 \(\beta_i(T=1)\)

​ step2：计算 \(\beta_i(t) = \sum^N_{j=1}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_j(t+1)\)

​ step3：\(P(O|\lambda) = \sum^N_{i=1}\pi_ib_i(O_1)\beta_i(1)\)

• 时间复杂度 \(O(N^2T)\)

前向-后向算法

回顾前向、后向变量：

• \(a_i(t)\) 时刻 \(t\)，状态为 \(i\) ，观测序列为 \(O_1,O_2, ..., O_t\) 的概率
• \(\beta_i(t)\) 时刻 \(t\)，状态为 \(i\) ，观测序列为 \(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T\) 的概率

\[\begin{aligned}P(O,s_t=i|\lambda)&= P(O_1,O_2, ..., O_T,s_t=i|\lambda)\\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i,O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T|\lambda)\\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i|\lambda)*P(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T|O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i,\lambda) \\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i|\lambda)*P(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T,s_t=i|\lambda)\\&= a_i(t)*\beta_i(t)\end{aligned}
\]

即在给定的状态序列中，\(t\) 时刻状态为 \(i\) 的概率。

使用前后向算法可以计算隐状态，记 \(\gamma_i(t) = P(s_t=i|O,\lambda)\) 表示时刻 \(t\) 位于隐状态 \(i\) 的概率

\[P\left(s_{t}=i, O | \lambda\right)=\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)
\]

\[\begin{aligned}\gamma_{i}(t)&=P\left(s_{t}={i} | O, \lambda\right)=\frac{P\left(s_{t}={i}, O | \lambda\right)}{P(O | \lambda)} \\&=\frac{\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}{P(O | \lambda)}=\frac{\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}{\sum_{i=1}^{N} \alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}\end{aligned}
\]

未完待续。。。

Decoder

维特比算法

维特比算法的基础可以概括为下面三点（来源于吴军：数学之美）：

1、如果概率最大的路径经过篱笆网络的某点，则从开始点到该点的子路径也一定是从开始到该点路径中概率最大的。

2、假定第i时刻有k个状态，从开始到i时刻的k个状态有k条最短路径，而最终的最短路径必然经过其中的一条。

3、根据上述性质，在计算第i+1状态的最短路径时，只需要考虑从开始到当前的k个状态值的最短路径和当前状态值到第i+1状态值的最短路径即可，如求t=3时的最短路径，等于求t=2时的所有状态结点x2i的最短路径加上t=2到t=3的各节点的最短路径。

references：

[1] https://www.cs.sjsu.edu/~stamp/RUA/HMM.pdf

[2] https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651A331.html

[3] https://www.cnblogs.com/sjjsxl/p/6285629.html

[4] https://hmmlearn.readthedocs.io/en/latest/tutorial.html

[5] https://blog.csdn.net/xueyingxue001/article/details/52396494

[6] https://blog.csdn.net/hudashi/java/article/details/87875259

[7] https://www.zhihu.com/question/20136144

[8] https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/81708386

[9] https://blog.csdn.net/u014688145/article/details/53046765