DAG上的动态规划:

有向无环图上的动态规划是学习DP的基础,很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

1.没有明确固定起点重点的DAG模型:

嵌套矩形问题:有n个矩形,每个矩形可以用两个整数a、b表示它的长和宽,矩形可以嵌套在矩形中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d。选出尽量多的矩形排成一行,使得除了最后一个之外,每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解矩形编号字典序应尽量小。

 /**
* 嵌套矩形问题:有n个矩形,每个矩形可以用两个整数a、b表示它的长和宽,
* 矩形可以嵌套在矩形中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d。选出尽量多的矩形排成一行,使得除了最后一个之外,每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解矩形编号字典序应尽量小。
*/
static int[] d= {-1,-1,-1,-1,-1,-1};
static int[][]a=new int[6][6]; public static void getA(ErYuan[] es) {//建立单向无环图
for(int i=0;i<es.length;i++) {
for(int j=0;j<es.length;j++) {
if(es[i].isOk(es[j])) {
a[i][j]=1;
}
}
}
} public static int dp(int i) {//从i开始的最大嵌套矩形个数
if(d[i]>=0) {
return d[i];
}
d[i]=0;
for(int j=0;j<d.length;j++) {
if(a[i][j]==1) {
d[i]=Math.max(d[i],1+dp(j));
}
}
return d[i];
} public static void test(int i,String head) {//找到d[i]中的最大值,按字典序输出路径们
head=head+i;
if(d[i]==0)
{
System.out.println(head);
}
String str="";
for(int j=0;j<d.length;j++) {
if(a[i][j]==1&&d[i]==d[j]+1) {
test(j,head);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scn=new Scanner(System.in);
ErYuan[] es=new ErYuan[6];
for(int i=0;i<6;i++) {
int x=scn.nextInt();
int y=scn.nextInt();
es[i]=new ErYuan(x,y);
}
getA(es);
for(int i=0;i<d.length;i++) {
dp(i);
}
int max=0;
for(int i=1;i<d.length;i++) {
max=d[max]>=d[i]?max:i;
}
for(int i=max;i<d.length;i++) {
if(d[i]==d[max]) {
test(i,"");
}
}
}
 class ErYuan{
int x;
int y;
public boolean isOk(ErYuan e) {
if((x<e.x&&y<e.y)||(e.x>y&&e.y>x)){
return true;
}
return false; }
public ErYuan(int x, int y) {
super();
this.x = x;
this.y = y;
} }

 2.固定终点的最长路和最短路

硬币问题:有n种硬币,面值分别为v1..vn,每种都有无限多,给定非负整数S。可以选用多少个硬币,使得面值之和恰好为S?输出硬币的最小值和最大值1<=n<100,0<=S<=10000,1<=vi<=S

     static int[]d=new int[10];
static int[]vis=new int[10];
static int[]v=new int[5];
/**
* 硬币问题:有n种硬币,面值分别为v1..vn,每种都有无限多,给定非负整数S。
* 可以选用多少个硬币,使得面值之和恰好为S?
*/
/**
* S->0的路径长度
* @param S
*/
public static int dp(int S) {
if(vis[S]==1)return d[S];
vis[S]=1;
for(int i=0;i<vis.length;i++)if(vis[i]<=S)d[S]=Math.max(d[S], dp(S-vis[i])+1);
return d[S];
}

如果要打印出来就同上,可以用递推或者储存的方式打印出来,储存的话用空间换取时间。

3.小结

传统的递推法可以表示成“对于每个状态i,计算f(i)",或者称为“填表法”.这需要对于每个状态i,找到f(i)依赖的所有状态。

刷表法:对于每个状态i,更新f(i)所影响的状态。只有当每个状态所依赖的对它的影响相互独立时才能用刷表法。

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