第九章（二）DAG上的动态规划

DAG上的动态规划：

有向无环图上的动态规划是学习DP的基础，很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

1.没有明确固定起点重点的DAG模型：

嵌套矩形问题：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a、b表示它的长和宽,矩形可以嵌套在矩形中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d。选出尽量多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解矩形编号字典序应尽量小。

 /**
      * 嵌套矩形问题：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a、b表示它的长和宽,
      * 矩形可以嵌套在矩形中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d。选出尽量多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解矩形编号字典序应尽量小。
      */
     static int[] d= {-1,-1,-1,-1,-1,-1};
     static int[][]a=new int[6][6];
 
     public static void getA(ErYuan[] es) {//建立单向无环图
         for(int i=0;i<es.length;i++) {
             for(int j=0;j<es.length;j++) {
                 if(es[i].isOk(es[j])) {
                     a[i][j]=1;
                 }
             }
         }
     }
 
     public static int dp(int i) {//从i开始的最大嵌套矩形个数
         if(d[i]>=0) {
             return d[i];
         }
         d[i]=0;
         for(int j=0;j<d.length;j++) {
             if(a[i][j]==1) {
                 d[i]=Math.max(d[i],1+dp(j));
             }
         }
         return d[i];
     }
 
     public static void test(int i,String head) {//找到d[i]中的最大值，按字典序输出路径们
         head=head+i;
         if(d[i]==0)
             {
             System.out.println(head);
             }
         String str="";
         for(int j=0;j<d.length;j++) {
             if(a[i][j]==1&&d[i]==d[j]+1) {
                 test(j,head);
             }
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         Scanner scn=new Scanner(System.in);
         ErYuan[] es=new ErYuan[6];
         for(int i=0;i<6;i++) {
             int x=scn.nextInt();
             int y=scn.nextInt();
             es[i]=new ErYuan(x,y);
         }
         getA(es);
         for(int i=0;i<d.length;i++) {
             dp(i);
         }
         int max=0;
         for(int i=1;i<d.length;i++) {
             max=d[max]>=d[i]?max:i;
         }
         for(int i=max;i<d.length;i++) {
             if(d[i]==d[max]) {
                 test(i,"");
             }
         }
     }

 class ErYuan{
     int x;
     int y;
     public boolean isOk(ErYuan e) {
         if((x<e.x&&y<e.y)||(e.x>y&&e.y>x)){
             return true;
         }
         return false;
 
     }
     public ErYuan(int x, int y) {
         super();
         this.x = x;
         this.y = y;
     }
 
 }

 2.固定终点的最长路和最短路

硬币问题：有n种硬币，面值分别为v1..vn，每种都有无限多，给定非负整数S。可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S?输出硬币的最小值和最大值1<=n<100,0<=S<=10000,1<=vi<=S

     static int[]d=new int[10];
     static int[]vis=new int[10];
     static int[]v=new int[5];
     /**
      * 硬币问题：有n种硬币，面值分别为v1..vn，每种都有无限多，给定非负整数S。
      * 可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S?
      */
     /**
      * S->0的路径长度
      * @param S
      */
     public static int dp(int S) {
         if(vis[S]==1)return d[S];
         vis[S]=1;
         for(int i=0;i<vis.length;i++)if(vis[i]<=S)d[S]=Math.max(d[S], dp(S-vis[i])+1);
         return d[S];
     }

如果要打印出来就同上，可以用递推或者储存的方式打印出来，储存的话用空间换取时间。

3.小结

传统的递推法可以表示成“对于每个状态i，计算f(i)"，或者称为“填表法”.这需要对于每个状态i，找到f(i)依赖的所有状态。

刷表法：对于每个状态i，更新f(i)所影响的状态。只有当每个状态所依赖的对它的影响相互独立时才能用刷表法。