题意:给若干个阻值为1的电阻,要得到阻值为a/b的电阻最少需要多少个。

思路:令a=mb+n,则a/b=m+n/b=m+1/(b/n),令f(a,b)表示得到a/b的电阻的答案,由f(a,b)=f(b,a),有:

f(a,b)=a/b + f(a%b,b)=a/b+f(b,a%b)

(1)由于将所有的电阻之间的关系改变一下,串联变成并联,并联变成串联,阻值变成之前的倒数,所以f(a,b)=f(b,a)成立。

(2)现在再证一下:串联变成并联,并联变成串联,阻值变成之前的倒数。考虑任一个电路,一定可以看成两个电路的并联或者两个电路的串联(题目保证了),先假设子问题成立,考虑原来的电路A和电路B,如果A和B串联,则R0=RA+RB,变成并联后R=1/(1/(1/RA)+1/(1/RB))=1/(RA+RB)=1/R0,如果A和B并联,则R=RA*RB/(RA+RB),变成串联后R=1/RA+1/RB=(RA+RB)/(RA*RB)=1/R0,由数学归纳法,所以结论成立

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  1. #include <map>
  2. #include <set>
  3. #include <cmath>
  4. #include <ctime>
  5. #include <deque>
  6. #include <queue>
  7. #include <stack>
  8. #include <vector>
  9. #include <cstdio>
  10. #include <string>
  11. #include <cstdlib>
  12. #include <cstring>
  13. #include <iostream>
  14. #include <algorithm>
  15.  
  16. using namespace std;
  17.  
  18. #define X first
  19. #define Y second
  20. #define pb push_back
  21. #define mp make_pair
  22. #define all(a) (a).begin(), (a).end()
  23. #define fillchar(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
  24. #define copy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
  25.  
  26. typedef long long ll;
  27. typedef pair<int, int> pii;
  28. typedef unsigned long long ull;
  29.  
  30. //#ifndef ONLINE_JUDGE
  31. void RI(vector<int>&a,int n){a.resize(n);for(int i=;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);}
  32. void RI(){}void RI(int&X){scanf("%d",&X);}template<typename...R>
  33. void RI(int&f,R&...r){RI(f);RI(r...);}void RI(int*p,int*q){int d=p<q?:-;
  34. while(p!=q){scanf("%d",p);p+=d;}}void print(){cout<<endl;}template<typename T>
  35. void print(const T t){cout<<t<<endl;}template<typename F,typename...R>
  36. void print(const F f,const R...r){cout<<f<<", ";print(r...);}template<typename T>
  37. void print(T*p, T*q){int d=p<q?:-;while(p!=q){cout<<*p<<", ";p+=d;}cout<<endl;}
  38. //#endif
  39. template<typename T>bool umax(T&a, const T&b){return b<=a?false:(a=b,true);}
  40. template<typename T>bool umin(T&a, const T&b){return b>=a?false:(a=b,true);}
  41. template<typename T>
  42. void V2A(T a[],const vector<T>&b){for(int i=;i<b.size();i++)a[i]=b[i];}
  43. template<typename T>
  44. void A2V(vector<T>&a,const T b[]){for(int i=;i<a.size();i++)a[i]=b[i];}
  45.  
  46. const double PI = acos(-1.0);
  47. const int INF = 1e9 + ;
  48. const double EPS = 1e-8;
  49.  
  50. /* -------------------------------------------------------------------------------- */
  51.  
  52. ll f(ll a, ll b) {
  53. return b? a / b + f(b, a % b) : ;
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  56. int main() {
  57. #ifndef ONLINE_JUDGE
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  59. //freopen("out.txt", "w", stdout);
  60. #endif // ONLINE_JUDGE
  61. ll a, b;
  62. while (cin >> a >> b) {
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  66. }

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