[leetcode] 股票问题

参考文章：

其实文章 [1] 是文章 [2] 的「二次创作」，建议先阅读 [2] 后再阅读 [1] 。文章 [2] 最大的亮点是使用了状态机图对股票问题进行建模和描述，我觉得是写得很好的文章（因为动态规划最原始的数学模型就是状态机）。

本文通过的题目有：

预备知识

股票买卖问题的本质是状态穷举。或者说，其实大部分动态规划问题都是状态穷举，只不过是某个状态的计算不是从初始条件开始计算，而是依赖于已经计算过的若干个状态。

股票问题面临的因素有三个：天数 $N$ 、最大交易次数 $K$ 、在某天股票的持有状态 $S(S\in\{0,1\})$ 。

状态定义

dp[i][k][s] 表示在第 i 天，最大交易次数为 k ，当前股票持状态为 s 的情况下的最大利润。其中，$0 \le i \le n-1, 1 \le k \le K, 0 \le s \le 1$ .

显然，股票问题所需的结果是 dp[n-1][K][0] 。为什么不是 dp[n-1][K][1] 呢？因为该状态表示持有股票，最后需要的结果当然是不持有股票的，卖出才具有最大利润。

转移方程

假设在第 i 天，最大交易次数为 k ，进行操作后没有持有股票，该状态依赖于：

第 i-1 天持有股票，但是第 i 天卖出，即 dp[i-1][k][1] + price[i] 。
第 i-1 天就不持有股票，即 dp[i-1][k][0] 。

假设在第 i 天，最大交易次数为 k ，进行操作后持有股票，该状态依赖于：

第 i-1 天就持有股票，第 i 天什么都不做，即 dp[i-1][k][1] 。
第 i-1 天不持有股票，第 i 天购入股票，即 dp[i-1][k-1][0] - price[i] 。因为第 i 天需要进行一次交易操作，所以要求前一天的交易次数减一。

所以有：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + price[i])    if i>=1 and k>=1

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - price[i])  if i>=1 and k>=1

dp[0][k][0] = 0                                               if i==0 and k>=1

dp[0][k][1] = -price[0]                                       if i==0 and k>=1

第三个下标只有 0 和 1 ，所以我个人更偏向于将这个三维数组拆分为 2 个二维数组：

dp0[i][k] = max(dp0[i-1][k], dp1[i-1][k] + price[i])    if i>=1 and k>=1

dp1[i][k] = max(dp1[i-1][k], dp0[i-1][k-1] - price[i])  if i>=1 and k>=1

本文就采用 2 个二维数组的形式去解题。

边界条件

边界的发生主要发生在变量 i 和 k 上，具体条件是 i == -1 和 k == 0 。

dp[-1][k][0] = 0, dp[-1][k][1] = -INF

dp[i][0][0] = 0, dp[i][0][1] = -INF

dp[-1][k][0] 表示允许交易（即 $k \ge 1$），但时间未开始（一个形象比喻：股票交易市场未开市），手上未持有股票，利润固然为 0 .

dp[i][0][0] 表示不允许交易，股票市场开市，所以利润为 0 .

dp[-1][k][1] 表示允许交易，股票市场未开市，但手中已持有股票，该状态是不可能的。

dp[i][0][1] 表示不允许交易，股票市场开市，但手中已持有股票，该状态也是不可能的。

因为求解过程中需要取 max ，所以不可能状态以最小值 -INF 表示。

买卖股票的最佳时机

题目[121]：链接。

这里 $K = 1$ ，代入状态转移方程可得：

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1

dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - price[i])  if i>=1

由于 dp[i-1][0][0] 表示不允许交易，且未持有股票，所以为 0 . 因此：

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1

dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -price[i])                 if i>=1

（请注意此处的处理与下面 “买卖股票的最佳时机 Ⅱ” 的区别！）

可以发现，该方程与 K 无关，因此可以进一步简化：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + price[i])     if i>=1

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -price[i])                 if i>=1

dp[i] 只依赖于上一个状态，因此可进行空间优化：

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])     if i>=1

dp1 = max(dp1, -price[i])          if i>=1

初始状态，第 0 天，dp0 = 0 表示在第 0 天未持有股票；dp1 = -price[0] 表示在第 0 天购入股票。

代码如下：

int maxProfit(vector<int> &prices)

{

    if (prices.size() == 0)  return 0;

    int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];

    for (int x : prices)

    {

        dp0 = max(dp0, dp1 + x);

        dp1 = max(dp1, -x);

    }

    return dp0;

}

在这篇文章中，还有一个适合新手理解的方法，现在发现二者是一致的，dp1 实际上就是 minval 。

int maxProfit(vector<int> &prices)

{

    int minval = 0x3f3f3f3f;

    int maxval = 0;

    for (auto x : prices)

    {

        minval = min(x, minval);

        maxval = max(x - minval, maxval);

    }

    return maxval;

}

买卖股票的最佳时机 II

题目[122]：买卖股票的最佳时机 II 。

这里允许无限次交易，即 $K = + \infty$ .

转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + price[i])    if i>=1 and k>=1

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - price[i])  if i>=1 and k>=1

由于 k 是无穷大，因此 k-1 也是无穷大。所以，方程与 k 无关。

dp0[i] = max(dp0[i-1], dp1[i-1] + price[i])  if i>=1

dp1[i] = max(dp1[i-1], dp0[i-1] - price[i])  if i>=1

空间优化：

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])  if i>=1

dp1 = max(dp1, dp0 - price[i])  if i>=1

初始状态：dp0 = 0, dp1 = -price[0] .

代码：

int maxProfit(vector<int> &prices)

{

    if (prices.size() == 0)  return 0;

    int dp0 = 0, dp1 = -prices[0], t;

    for (int x : prices)

        t = dp0, dp0 = max(dp0, dp1 + x), dp1 = max(dp1, t - x);

    return dp0;

}

买卖股票的最佳时机 III

题目[123]：买卖股票的最佳时机 III 。

这里 $K=2$ ，转移方程：

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])    if i>=1

dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i])    if i>=1

对第三个下标降维，分解为 2 个 DP 数组：

dp0[i][2] = max(dp0[i-1][2], dp1[i-1][2] + price[i])    if i>=1

dp1[i][2] = max(dp1[i-1][2], dp0[i-1][1] - price[i])    if i>=1

我的解法

到这一步，要考虑的是怎么求出 dp0[i-1][1] ？它的含义是只允许一次交易，在第 i 天不持有股票的最大利润。显然这就是第一题 “买卖股票的最佳时机” 所求的。

所以，我们先求出 dp0[n][1] 这个数组，用 vector 记录下来。那么状态方程就变为：

dp0[i][2] = max(dp0[i-1][2], dp1[i-1][2] + price[i])    if i>=1

dp1[i][2] = max(dp1[i-1][2], v[i-1] - price[i])         if i>=1

可以发现，这时候与 k=2 无关（即与第二维下标无关）：

dp0[i] = max(dp0[i-1], dp1[i-1] + price[i])  if i>=1

dp1[i] = max(dp1[i-1], v[i-1] - price[i])    if i>=1

空间优化：

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])     if i>=1

dp1 = max(dp1, v[i-1] - price[i])  if i>=1

代码：

int maxProfit3(vector<int> &prices)

{

    if (prices.size() == 0)  return 0;

    vector<int> v(prices.size(), 0); // which is dp0 at above

    int t = -prices[0];              // which is dp1 at above

    int n = prices.size();

    for (int i = 1; i < n; i++)

    {

        v[i] = max(v[i - 1], t + prices[i]);

        t = max(t, -prices[i]);

    }

    int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];

    for (int i = 1; i < n; i++)

    {

        dp0 = max(dp0, dp1 + prices[i]);

        dp1 = max(dp1, v[i - 1] - prices[i]);

    }

    return dp0;

}

原作者的解法

$K=2$ 时的转移方程：

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])    if i>=1

dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i])    if i>=1

进一步对 dp[.][1][.] 进一步展开（实际上就是第一题 “买卖股票的最佳时机” 的转移方程）：

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1

dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - price[i])  if i>=1

综合一下：

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])  if i>=1

dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i])  if i>=1

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1

dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -price[i])                 if i>=1

对第二、第三维的下标进行降维：

dp20[i] = max(dp20[i-1], dp21[i-1] + price[i])  if i>=1

dp21[i] = max(dp21[i-1], dp10[i-1] - price[i])  if i>=1

dp10[i] = max(dp10[i-1], dp11[i-1] + price[i])  if i>=1

dp11[i] = max(dp11[i-1], -price[i])             if i>=1

空间优化：

dp20 = max(dp20, dp21 + price[i])  if i>=1

dp21 = max(dp21, dp10 - price[i])  if i>=1

dp10 = max(dp10, dp11 + price[i])  if i>=1

dp11 = max(dp11, dp00 - price[i])  if i>=1

初始状态：dp20=0, dp10=0, dp21=-price[0], dp11=-price[0] .

代码（Ps：把变量名改为 a,b,c,d 马上 bigger 就高了