参考文章:

其实文章 [1] 是文章 [2] 的「二次创作」,建议先阅读 [2] 后再阅读 [1] 。文章 [2] 最大的亮点是使用了状态机图对股票问题进行建模和描述,我觉得是写得很好的文章(因为动态规划最原始的数学模型就是状态机)。

本文通过的题目有:

预备知识

股票买卖问题的本质是状态穷举。或者说,其实大部分动态规划问题都是状态穷举,只不过是某个状态的计算不是从初始条件开始计算,而是依赖于已经计算过的若干个状态。

股票问题面临的因素有三个:天数 \(N\) 、最大交易次数 \(K\) 、在某天股票的持有状态 \(S(S\in\{0,1\})\) 。

  • 状态定义

dp[i][k][s] 表示在第 i 天,最大交易次数为 k ,当前股票持状态为 s 的情况下的最大利润。其中,\(0 \le i \le n-1, 1 \le k \le K, 0 \le s \le 1\) .

显然,股票问题所需的结果是 dp[n-1][K][0] 。为什么不是 dp[n-1][K][1] 呢?因为该状态表示持有股票,最后需要的结果当然是不持有股票的,卖出才具有最大利润。

  • 转移方程

假设在第 i 天,最大交易次数为 k ,进行操作后没有持有股票,该状态依赖于:

  1. i-1 天持有股票,但是第 i 天卖出,即 dp[i-1][k][1] + price[i]
  2. i-1 天就不持有股票,即 dp[i-1][k][0]

假设在第 i 天,最大交易次数为 k ,进行操作后持有股票,该状态依赖于:

  1. i-1 天就持有股票,第 i 天什么都不做,即 dp[i-1][k][1]
  2. i-1 天不持有股票,第 i 天购入股票,即 dp[i-1][k-1][0] - price[i] 。因为第 i 天需要进行一次交易操作,所以要求前一天的交易次数减一。

所以有:

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + price[i])    if i>=1 and k>=1
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - price[i]) if i>=1 and k>=1
dp[0][k][0] = 0 if i==0 and k>=1
dp[0][k][1] = -price[0] if i==0 and k>=1

第三个下标只有 0 和 1 ,所以我个人更偏向于将这个三维数组拆分为 2 个二维数组:

dp0[i][k] = max(dp0[i-1][k], dp1[i-1][k] + price[i])    if i>=1 and k>=1
dp1[i][k] = max(dp1[i-1][k], dp0[i-1][k-1] - price[i]) if i>=1 and k>=1

本文就采用 2 个二维数组的形式去解题。

  • 边界条件

边界的发生主要发生在变量 ik 上,具体条件是 i == -1 k == 0

dp[-1][k][0] = 0, dp[-1][k][1] = -INF
dp[i][0][0] = 0, dp[i][0][1] = -INF

dp[-1][k][0] 表示允许交易(即 \(k \ge 1\)),但时间未开始(一个形象比喻:股票交易市场未开市),手上未持有股票,利润固然为 0 .

dp[i][0][0] 表示不允许交易,股票市场开市,所以利润为 0 .

dp[-1][k][1] 表示允许交易,股票市场未开市,但手中已持有股票,该状态是不可能的。

dp[i][0][1] 表示不允许交易,股票市场开市,但手中已持有股票,该状态也是不可能的。

因为求解过程中需要取 max ,所以不可能状态以最小值 -INF 表示。

买卖股票的最佳时机

题目[121]:链接

这里 \(K = 1\) ,代入状态转移方程可得:

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - price[i]) if i>=1

由于 dp[i-1][0][0] 表示不允许交易,且未持有股票,所以为 0 . 因此:

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -price[i]) if i>=1

(请注意此处的处理与下面 “买卖股票的最佳时机 Ⅱ” 的区别!)

可以发现,该方程与 K 无关,因此可以进一步简化:

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + price[i])     if i>=1
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -price[i]) if i>=1

dp[i] 只依赖于上一个状态,因此可进行空间优化:

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])     if i>=1
dp1 = max(dp1, -price[i]) if i>=1

初始状态,第 0 天,dp0 = 0 表示在第 0 天未持有股票;dp1 = -price[0] 表示在第 0 天购入股票。

代码如下:

int maxProfit(vector<int> &prices)
{
if (prices.size() == 0) return 0;
int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];
for (int x : prices)
{
dp0 = max(dp0, dp1 + x);
dp1 = max(dp1, -x);
}
return dp0;
}

这篇文章中,还有一个适合新手理解的方法,现在发现二者是一致的,dp1 实际上就是 minval

int maxProfit(vector<int> &prices)
{
int minval = 0x3f3f3f3f;
int maxval = 0;
for (auto x : prices)
{
minval = min(x, minval);
maxval = max(x - minval, maxval);
}
return maxval;
}

买卖股票的最佳时机 II

题目[122]:买卖股票的最佳时机 II

这里允许无限次交易,即 \(K = + \infty\) .

转移方程:

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + price[i])    if i>=1 and k>=1
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - price[i]) if i>=1 and k>=1

由于 k 是无穷大,因此 k-1 也是无穷大。所以,方程与 k 无关。

dp0[i] = max(dp0[i-1], dp1[i-1] + price[i])  if i>=1
dp1[i] = max(dp1[i-1], dp0[i-1] - price[i]) if i>=1

空间优化:

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])  if i>=1
dp1 = max(dp1, dp0 - price[i]) if i>=1

初始状态:dp0 = 0, dp1 = -price[0] .

代码:

int maxProfit(vector<int> &prices)
{
if (prices.size() == 0) return 0;
int dp0 = 0, dp1 = -prices[0], t;
for (int x : prices)
t = dp0, dp0 = max(dp0, dp1 + x), dp1 = max(dp1, t - x);
return dp0;
}

买卖股票的最佳时机 III

题目[123]:买卖股票的最佳时机 III

这里 \(K=2\) ,转移方程:

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])    if i>=1
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i]) if i>=1

对第三个下标降维,分解为 2 个 DP 数组:

dp0[i][2] = max(dp0[i-1][2], dp1[i-1][2] + price[i])    if i>=1
dp1[i][2] = max(dp1[i-1][2], dp0[i-1][1] - price[i]) if i>=1

我的解法

到这一步,要考虑的是怎么求出 dp0[i-1][1] ?它的含义是只允许一次交易,在第 i 天不持有股票的最大利润。显然这就是第一题 “买卖股票的最佳时机” 所求的。

所以,我们先求出 dp0[n][1] 这个数组,用 vector 记录下来。那么状态方程就变为:

dp0[i][2] = max(dp0[i-1][2], dp1[i-1][2] + price[i])    if i>=1
dp1[i][2] = max(dp1[i-1][2], v[i-1] - price[i]) if i>=1

可以发现,这时候与 k=2 无关(即与第二维下标无关):

dp0[i] = max(dp0[i-1], dp1[i-1] + price[i])  if i>=1
dp1[i] = max(dp1[i-1], v[i-1] - price[i]) if i>=1

空间优化:

dp0 = max(dp0, dp1 + price[i])     if i>=1
dp1 = max(dp1, v[i-1] - price[i]) if i>=1

代码:

int maxProfit3(vector<int> &prices)
{
if (prices.size() == 0) return 0;
vector<int> v(prices.size(), 0); // which is dp0 at above
int t = -prices[0]; // which is dp1 at above
int n = prices.size();
for (int i = 1; i < n; i++)
{
v[i] = max(v[i - 1], t + prices[i]);
t = max(t, -prices[i]);
}
int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
dp0 = max(dp0, dp1 + prices[i]);
dp1 = max(dp1, v[i - 1] - prices[i]);
}
return dp0;
}

原作者的解法

\(K=2\) 时的转移方程:

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])    if i>=1
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i]) if i>=1

进一步对 dp[.][1][.] 进一步展开(实际上就是第一题 “买卖股票的最佳时机” 的转移方程):

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i])  if i>=1
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - price[i]) if i>=1

综合一下:

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + price[i])  if i>=1
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - price[i]) if i>=1
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + price[i]) if i>=1
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -price[i]) if i>=1

对第二、第三维的下标进行降维:

dp20[i] = max(dp20[i-1], dp21[i-1] + price[i])  if i>=1
dp21[i] = max(dp21[i-1], dp10[i-1] - price[i]) if i>=1
dp10[i] = max(dp10[i-1], dp11[i-1] + price[i]) if i>=1
dp11[i] = max(dp11[i-1], -price[i]) if i>=1

空间优化:

dp20 = max(dp20, dp21 + price[i])  if i>=1
dp21 = max(dp21, dp10 - price[i]) if i>=1
dp10 = max(dp10, dp11 + price[i]) if i>=1
dp11 = max(dp11, dp00 - price[i]) if i>=1

初始状态:dp20=0, dp10=0, dp21=-price[0], dp11=-price[0] .

代码(Ps:把变量名改为 a,b,c,d 马上 bigger 就高了

[leetcode] 股票问题的更多相关文章

  1. leetcode股票问题方法收集 转载自微信公众号labuladong

    一.穷举框架首先,还是一样的思路:如何穷举?这里的穷举思路和上篇文章递归的思想不太一样. 递归其实是符合我们思考的逻辑的,一步步推进,遇到无法解决的就丢给递归,一不小心就做出来了,可读性还很好.缺点就 ...

  2. leetcode 股票系列

    五道股票题总结: 121 买卖股票的最佳时机 122 买卖股票的最佳时机 124 买卖股票的最佳时机4 309  最佳股票买卖含冷冻期 714 买卖股票的最佳时机含有手续费 121 买卖股票的最佳时机 ...

  3. [leetcode]股票题型123

    122. Best Time to Buy and Sell Stock II Say you have an array for which the ith element is the price ...

  4. leetcode题解-122买卖股票的最佳时期

    题目 leetcode题解-122.买卖股票的最佳时机:https://www.yanbinghu.com/2019/03/14/30893.html 题目详情 给定一个数组,它的第 i 个元素是一支 ...

  5. 【Leetcode】【简单】【122. 买卖股票的最佳时机 II】【JavaScript】

    题目描述 122. 买卖股票的最佳时机 II 给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格. 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润.你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票) ...

  6. [LeetCode] 901. Online Stock Span 线上股票跨度

    Write a class StockSpanner which collects daily price quotes for some stock, and returns the span of ...

  7. [LeetCode] 121. Best Time to Buy and Sell Stock 买卖股票的最佳时间

    Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i. If you were ...

  8. [LeetCode] 122. Best Time to Buy and Sell Stock II 买卖股票的最佳时间 II

    Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i. Design an al ...

  9. [LeetCode] 123. Best Time to Buy and Sell Stock III 买卖股票的最佳时间 III

    Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i. Design an al ...

随机推荐

  1. 漫谈Huawei LiteOS五大内核模块

    [摘要]Huawei LiteOS是华为面向IoT领域,构建的“统一物联网操作系统和中间件软件平台”,以轻量级(内核小于10k).低功耗(1节5号电池最多可以工作5年),快速启动,互联互通,安全等关键 ...

  2. Jenkins 实现 ldap认证

    使用自己搭建的openldap: 使用Test LdapSetting测试的结果: 所测试的用户在:svn,jenkins,gitlab,sonarqube,wpsadmin组下 若用户不在jenki ...

  3. 「雕爷学编程」Arduino动手做(24)——水位传感器模块

    37款传感器与模块的提法,在网络上广泛流传,其实Arduino能够兼容的传感器模块肯定是不止37种的.鉴于本人手头积累了一些传感器和模块,依照实践出真知(一定要动手做)的理念,以学习和交流为目的,这里 ...

  4. PostgreSQL 安装PYTHON扩展,访问页面或者第三方程序

    应用场景当数据库中relation表中有数据插入.更新.删除操作,postgresql 调用第三方接口,进行处理.这里用pgsq 中python的扩展插件来实现. 1.安装PostgreSQL中的Py ...

  5. Navicat for MySQL数据库管理工具安装和破解

    Navicat for MySQL官方下载地址:https://www.navicat.com/en/download/navicat-for-mysql 1.下载后安装 navicat110_mys ...

  6. ASHRAE KAGGLE大能源预测(前三名方案总结+相关知识点讲解+python实现)

    @ 目录 1 概述 2 处理思想学习 2.1 移除异常值 2.2 缺失值 2.3 目标函数 2.4 特征工程 2.4.1 Savitzky-Golay filter 2.4.2 Bayesian ta ...

  7. Django组件content-type使用方法详解

    前言 参考博客:https://www.zhangshengrong.com/p/zD1yQJwp1r/ 一个表和多个表进行关联,但具体随着业务的加深,表不断的增加,关联的数量不断的增加,怎么通过一开 ...

  8. Django启动

    Django启动 (一)CMD中创建启动: 1.配置好django-admin.exe环境变量,切换到项目文件夹路径 切换磁盘:>>>E: 显示文件列表:>>>di ...

  9. SQL——表连接JOIN

    JOIN - 用于根据两个或多个表中的列之间的关系,从这些表中查询数据.    语法:SELECT columnName(s) FROM tableName1 JOIN tableName2 -- 查 ...

  10. pytest常用命令参数

    pytest 参数 1.参数:-s 运行过程中执行print打印函数:pytest -s,以下两个输出 上边带参数,下边不带 2.参数: --collect-only 收集将要执行的用例,但不会执行用 ...