题目链接

\(Description\)

给出一个n个点m条边的无向图。

你每次需要选择两个没有边相连的点,将它们合并为一个新点,直到这张图变成了一条链。

最大化这条链的长度,或输出无解。

n<=1000,m<=10000

\(Solution\)

不难发现无解当且仅当存在奇环。

归纳证明:有一个奇环,若与环外一个点合并,这个奇环仍存在;若环内两个点合并,合并两点两边的边数是奇数,合并之后还是至少会有一边边数是奇数,是一个奇环(最后变成一个三角形)。这样怎么合并都会剩下一个奇环。

若不存在奇环,则这是一张二分图(一定有解,直接左右分别合成一定可以形成一个长度为2的链)。

先考虑一些特殊情况

对于一棵树显然答案是直径,然后挂在直径边的点直接合并上去。

对于一个偶环,则找的是对称的两个点,答案应是n/2+1.

树是因为两点间的距离固定,所以找一个最长的;

而环是找了最短路最长的一对点。

假设一个点对(a,b)的最短路为x,缩点(相等于添边)x只会变短,那么合并完 (a,b)的距离y一定<=x。这相当于找到一个ans的上界,想办法把答案构出来。

考虑枚举一个点作为链的一端,求出其它点到它的距离di。

因为是个二分图,所以距离某个点距离相等的点一定在二分图的同一侧。

直接把di相同的点合到一起就可以了,会得到一条长度为max{di}的链,并且肯定不存在更长的链。

时间复杂度O(nm)(BFS是必须的 用DFS求最终答案是错的!)

注: 若图不是连通的,则ans=D1+D2+…+Dk(Di为每个连通块的max{di})

//1980ms	3600KB 好慢啊。。
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1e3+5,M=1e5+5; int n,m,Enum,H[N],nxt[M<<1],to[M<<1],vis[N],cnt,bel[N],ans_b[N],dis[N],q[N]; inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
inline void AddEdge(int u,int v){
to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS(int x,int f)
{
bel[x]=cnt;
for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
if((v=to[i])!=f && !vis[v]) vis[v]=vis[x]^1, DFS(v,x);
else if(/*v!=f*/vis[v]==vis[x]) {printf("-1"); exit(0);}
}
int BFS(int now)
{
memset(dis,0,sizeof dis);
int h=0,t=1,res=0; q[0]=now, dis[now]=1;
while(h<t)
{
int x=q[h++];
for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(!dis[to[i]])
res=std::max(res,dis[to[i]]=dis[x]+1),q[t++]=to[i];
}
return res-1;
} int main()
{
n=read(),m=read();
for(int u,v,i=1; i<=m; ++i) u=read(),v=read(),AddEdge(u,v);
for(int i=1; i<=n; ++i)
if(!vis[i]) ++cnt,vis[i]=2,DFS(i,i);
for(int i=1; i<=n; ++i)
ans_b[bel[i]]=std::max(ans_b[bel[i]],BFS(i));
int res=0;
for(int i=1; i<=cnt; ++i) res+=ans_b[i];
printf("%d",res); return 0;
}

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