leetcode 188. 买卖股票的最佳时机 IV

参见

本题采用了第一列初始化后，从左侧向右开始递推的方式，但从上往下递推应该也成立，以后尝试一下

想写一个普适性的适用于n天交易k次持有j股的状态方程但是有问题；对于交易次数过多的情况数组会超出界限：

测试数据：100
[106,373,495,46,359,919,906,440,783,583,784,73,238,701,972,308,165,774,990,675,737,990,713,157,211,880,961,132,980,136,285,239,628,221,948,939,28,541,414,180,171,640,297,873,59,814,832,611,868,633,101,67,396,264,445,548,257,656,624,71,607,67,836,14,373,205,434,203,661,793,45,623,140,67,177,885,155,764,363,269,599,32,228,111,102,565,918,592,604,244,982,533,781,604,115,429,33,894,778,885,145,888,577,275,644,824,277,302,182,94,479,563,52,771,544,794,964,827,744,366,548,761,477,434,999,86,1000,5,99,311,346,609,778,937,372,793,754,191,592,860,748,297,610,386,146,220,7,113,657,438,482,700,158,884,877,964,777,139,809,489,383,92,581,970,899,947,864,443,490,825,674,906,402,270,416,611,949,476,775,899,837,796,227,232,226,11,266,889,215,6,182,430,5,706,994,128,359,841,439,263,491,689,638,485,763,695,135,800,763,54,569,387,112,316,193,675,546,531,954,571,208,282,557,892,469,875,765,592,374,276,892,843,625,180,249,292,477,882,837,112,46,667,187,93,418,790,903,12,978,510,647,446,597,958,678,897,420]

时间复杂度O(n*k)空间复杂度O(n*k*2) k过大时空间超出,而且貌似这个代码是有问题的，因此先留待修改；

class Solution {
public:
    int maxProfit(int K, vector<int>& prices) {
        //使用MP[i][k][j]作为状态数组，i代表第i天，k代表第k次交易，j值为0（未持有股票）和1（持有股票）
        int l=prices.size();
        if(l<=) return ;
        int res=;
        int MP[l][K+][];
        //状态数组初始化
        for(int i=;i<l;i++){
        MP[i][][]=;//0次交易却持有股票
        MP[i][][]=;
        MP[i][][]=;//不持有股票却有1次交易
        MP[i][][]=-prices[i];
        }
        for(int k=;k<=K;k++){
            MP[][k][]=;//第一天有k笔交易不持有股票
            MP[][k][]=;//第一天有k笔交易持有股票
        }
        //状态转移
        for(int i=;i<l;i++){
            cout<<"i="<<i<<": ";
            for(int k=;k<=K;k++){
                MP[i][k][]=max(MP[i-][k][],MP[i-][k][]+prices[i]);
                MP[i][k][]=max(MP[i-][k][],MP[i-][k-][]-prices[i]);
                cout<<"("<<MP[i][k][]<<","<<MP[i][k][]<<"),";
                if(MP[i][k][]>res) res=MP[i][k][];
            }
            cout<<endl;
        }
        return res;
    }
};

那么针对leetcode188怎么优化空间复杂度呢，可以尝试去掉k这个维度来建立dp数组，为了明确意义，j维度也可以去掉，转而建立两个n维数组sell,buy来进行尝试

基于123的2次交易采用k维数组储存状态O(n*k)时间，O(k)空间，结果超时，k量级（10^10）超时，超空间，代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len<=||k<=) return ;
        int res=;
        vector<int> buy(k,INT_MIN);
        vector<int> sell(k,);

        for(int price:prices){
            for(int i=;i<k;i++){
                if(i==)
                    buy[]=max(buy[],-price);
                else
                    buy[i]=max(buy[i],sell[i-]-price);
                sell[i]=max(sell[i],buy[i]+price);
            }
        }
        return sell[k-];
    }
};

基于leetcode122和123的结果：由于188交易次数过多时会极大的提升空间复杂度，因此考虑以下情况，当交易次数k>len/2时题目退化为122所以整体时间复杂度上限为1/2*n^2，消除了最坏情况下交易次数过多的case，beat95%，C++代码如下：

//从第0天之前开始初始化为-∞的buy和为0的sell

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len<=||k<=) return ;
        if(k>=len/) return maxProfit122(prices);
        int res=;
        vector<int> buy(k,INT_MIN);
        vector<int> sell(k,);

        for(int price:prices){
            buy[]=max(buy[],-price);
            sell[]=max(sell[],buy[]+price);
            for(int i=;i<k;i++){
                buy[i]=max(buy[i],sell[i-]-price);
                sell[i]=max(sell[i],buy[i]+price);
            }
        }
        return sell[k-];
    }
    int maxProfit122(vector<int>& prices){
        int len=prices.size();
        int res=;
        for(int i=;i<len;i++){
            if(prices[i]>prices[i-]) res+=prices[i]-prices[i-];
        }
        return res;
    }
};

或者直接根据第一天的价格初始化buy和sell，避免价格过高或过低的异常

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len<=||k<=) return ;
        if(k>=len/) return maxProfit122(prices);
        int res=;
        vector<int> buy(k,-prices[]);
        vector<int> sell(k,);
        //sell和buy的下标代表第k次交易取值为0,1,2,………,k-1
        for(int i=;i<len;i++){
            int price=prices[i];
            buy[]=max(buy[],-price);//第i天第0次购买的股票是前i天（包括第i天）中价格最低的股票
            sell[]=max(sell[],buy[]+price);//前i天买入并卖出一次（第0次）获得的最大收益
            for(int j=;j<k;j++){
                buy[j]=max(buy[j],sell[j-]-price);//第i天第j次买入是i-1天以前买入j次和i天前卖出j-1次并第j天买入的比较
                sell[j]=max(sell[j],buy[j]+price);//前i-1天买卖j次，和前i天买入第i天卖出的比较
            }
        }
        return sell[k-];
    }
    int maxProfit122(vector<int>& prices){
        int len=prices.size();
        int res=;
        for(int i=;i<len;i++){
            if(prices[i]>prices[i-]) res+=prices[i]-prices[i-];
        }
        return res;
    }
};