AcWing 225. 矩阵幂求和 (矩阵快速幂+分治)打卡
题目:https://www.acwing.com/problem/content/227/
题意:给你n,k,m,然后输入一个n阶矩阵A,让你求 S=A+A^2+A^3.+......+A^k
思路:首先因为A是矩阵,我们k的范围很大,那么很明显看出A^k可以用矩阵快速幂来计算,但是这样我们只能算出其中一项,还是有k项,那么我们怎么计算和呢
我们可以看出前一项和后一项是有关联的,就是乘了一个A,我们怎么利用前面计算的结果呢,On遍历肯定不行,既然我们用到了遍历,那么优化我们很容易想到二分
假设我们 A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6
那么可以利用类似分治的方法,一直这样二分递归下去,然后我们自底向上,以左子树推出又子树,这样就能得到最终的答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 35
typedef long long ll;
int n,mod;
struct mat
{
ll m[MAXN][MAXN];//矩阵结构体
}unit;//unit为单位矩阵,即主对角线全部为1,这样任何矩阵与单位矩阵相乘都为它本身 mat msub(mat a,mat b)//矩阵相乘函数
{
mat ret;
ll x;
for(int i=;i<n;i++)
{
for(int j=;j<n;j++)
{
x=;
for(int k=;k<n;k++)
{
x+=((a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod);//取余
}
ret.m[i][j]=x%mod;//取余
}
}
return ret;
}
mat add(mat a,mat b)//矩阵相乘函数
{
mat ret;
for(int i=;i<n;i++)
{
for(int j=;j<n;j++)
{
ret.m[i][j]=(a.m[i][j]+b.m[i][j])%mod;
}
}
return ret;
} void init_unit()//初始化单位矩阵
{
for(int i=;i<MAXN;i++)
{
unit.m[i][i]=;
}
} mat qpow(mat a,ll x)//快速幂
{
mat ans=unit;
while(x)
{
if(x&) ans=msub(ans,a);
a=msub(a,a);
x>>=;
}
return ans;
} mat sum(mat a,ll k){
if(k==) return a;
mat w=sum(a,k/);
if(k%){
mat ans=qpow(a,k/+);
ans=add(ans,msub(ans,w));
return add(w,ans);
}
else{
mat ans=qpow(a,k/);
return add(w,msub(ans,w));
}
}
int main()
{
ll x;
init_unit();
cin>>n>>x>>mod;
mat a,ans;
for(int i=;i<n;i++)
{
for(int j=;j<n;j++)
{
cin>>a.m[i][j];
}
}
ans=sum(a,x);
for(int i=;i<n;i++)
{
for(int j=;j<n;j++)
{
if(j!=n-) cout<<ans.m[i][j]<<" ";
else cout<<ans.m[i][j]<<endl;
}
}
return ;
}
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