【学术篇】oj.jzxx.net2701 无根树
这是一道来自OIerBBS的题目..
原帖地址:http://www.oierbbs.com/forum.php?mod=viewthread&tid=512?fromuid=71
(似乎是个很小众的BBS..不从洛谷空降根本到不了..)
(原帖的排版我忍不了。。 把题目的样式重新处理了一遍。。)
题目描述
味味最近对树很感兴趣,什么是树呢?树就是有n个节点和n-1条边形成的无环连通无向图。
味味在研究过程中想知道,对于一个无根树,当节点i作为根的时候树的高是多少。所谓树高指的是从根节点出发,到离根节点最远叶子节点所经过的节点的总数,详见输入输出样例1。味味现在遇到了一些烦心的事情,不想再继续思考了,请你帮助她解决这个问题。
输入格式
输入共N行。
第1行为一个正整数N,表示树的节点个数。
第2行到第N行里,每行两个用空格隔开的正整数a和b,表示a与b有连边。
输出格式
输出共N行,第i行表示以节点i为根时的树高。
样例输入
样例1:
3
1 2
2 3
样例2:
4
1 4
2 4
3 4
样例输出
样例1:
3
2
3
样例2:
3
3
3
2
数据范围(听LZ说的):对于100%的数据,1<=n<=1000
然而我认为的数据范围:应该是 1<=n<=5000000 (强行不和善)
(然而这样排版还是很丑)(逃
来源:oj.jzxx.net(原LZ并没有给哪个题.._ (:з」∠) _ 于是去了那个OJ.. 应该是2701..)
题目の传送门:http://oj.jzxx.net/problem.php?id=2701
(这个OJ我都不会用。。。。。。我真傻,真的)
讨论区中的做法:
法1. 暴力枚举每个点为根,搜索树的最大深度 (复杂度:O(n^2))
法2. 平衡树?(其实不知道能不能,其实我没看懂,但应该可以) (复杂度:均摊O(nlogn))
法3. 分块(这个看上去挺靠谱的?编程复杂度低于上面) (复杂度:O(n^1.5))
==========================我是学术的分割线==========================
题目大意
给定一棵无根树,求以每个点为根形成的树的树高。。
题目分析
哦?这不是等价于求树上每个点到树上其他点距离的最大值嘛。。
这就用到了一个知识点:树上任一点到树直径(*)的其中一个端点的距离最远~~
*:直径:树的直径是指树的最长简单路。
所以……这题做完了。(逃
先求直径,然后分别从直径的两端点bfs,对于求得的两个距离取最大值即可。。
直径怎么求?
两遍bfs。先随便选一个点做起点bfs找到距它距离最大的点,再从那个点进行bfs,则这次bfs找到的最长路即为树的直径(即这次找到的距它距离最大的点就是直径的另一个端点)
原理: 设起点为u,第一次bfs找到的终点v一定是树的直径的一个端点(根据某知识点),然后再bfs找到的显然是另一个端点。。
然后分别以直径的两个端点为起点进行bfs遍历树,更新每个节点的距离,然后从两距离中取最大值即可。
细心的你一定发现了,求直径时的第二遍bfs已经是从直径的一个端点出发了,我们完全可以顺带着更新路上的值了,这样我们又少了一遍bfs,这真令人高兴O(∩_∩)O
So,Obviously,经过以上步骤,我们便得到了解答。
复杂度?3遍bfs,均为O(m),因为是树,且边无向,m=(n-1)* 2,所以也就6 *(n-1)吧
总复杂度:O(n)级别(线性)
完美~~
代码实现
STL重度依赖症的代码..(不要问我为什么这三个bfs长得辣么像)
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using std::vector;
using std::queue;
#define gc getchar()
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int N=1008;
vector<int> e[N];
queue<int> q;
int d[N],_d[N];
inline int gnum(){
int a=0;char c=gc;bool f=0;
for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc);
if(c=='-') f=1,c=gc;
for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
if(f) return ~a+1; return a;
}
int bfs1(){ //找一个端点
cl(d,-1); d[1]=0; int mi=1; q.push(1);
while(!q.empty()){
int x=q.front(); q.pop();
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y=e[x][i];
if(d[y]<0){
d[y]=d[x]+1; mi=y; q.push(y);
//因为是树形结构,所以不需要像真的最短路一样加判断,一旦搜到一定是最远的(之一)
}
}
}
return mi;
}
int bfs2(int s){ //找另一个端点,更新距这个端点的距离
cl(d,-1); d[s]=1; int mi=s; q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front(); q.pop();
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y=e[x][i];
if(d[y]<0){
d[y]=d[x]+1; mi=y; q.push(y);
}
}
}
return mi;
}
void bfs3(int s){ //更新距另一个端点的距离
cl(_d,-1); _d[s]=1; q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front(); q.pop();
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y=e[x][i];
if(_d[y]<0){
_d[y]=_d[x]+1; q.push(y);
if(_d[y]>d[y]) d[y]=_d[y];
//偷懒ing..要是这个距离大于从另一端的距离就直接覆盖掉..
//反正树形结构一个点只会跑一次..
}
}
}
}
int main(){
int n=gnum();
for(int i=1;i<n;i++){
int u=gnum(),v=gnum();
e[u].push_back(v);
e[v].push_back(u);
}
int x=bfs1();int y=bfs2(x);bfs3(y);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",d[i]);
}
//这题真的好简单呢..
写在后面
基本就是这样了,下面为好学的你们附上关于某求直径方式正确性的证明:
证明: 1) 如果u是直径上的点,则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话,则必定存在另一个点w使得u到w的距离更长,则于BFS找到了v矛盾)
2) 如果u不是直径上的点,则u到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了
所以v一定是直径的一个端点,所以从v进行BFS得到的一定是直径长度
其实最重要的是理解某奇妙的知识点
The End.
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