数据结构：Treap

关于重量平衡树的相关概念可以参考姊妹文章：重量平衡树之替罪羊树

Treap是依靠旋转来维护平衡的重量平衡树中最为好写的一中，因为它的旋转不是LL就是RR

对于每一个新的节点，它给这个节点分配了一个随机数，用作优先级，然后以这个优先级来维护一个堆结构

由于堆本身就是完全二叉树结构，这样维护之后的树就无限接近于完全二叉树，所以还是很神奇的

这棵树满足BST的一切性质，除了不能处理序列问题之外已经无敌了

应该说，抛去动态树问题之外，这是实战最好用的树了

我们还是先看定义：

struct Tree
{
    int v,w;
    int size;
    int rnd;
    int ch[];
}t[maxn];
int root;
int size;
int ans=;

在这里v是值，w是同值的节点个数，size是子树的节点总数，rnd是优先级，外面：root是根节点，size是根节点中元素个数，ans是统计答案用的临时变量

我们这里还是先介绍插入操作，平衡树问题如果不是处理序列的，建议就一个一个插

void insert(int &k,int x)
{
    if(k==)
    {
        size++;
        k=size;
        t[k].size=t[k].w=;
        t[k].v=x;
        t[k].rnd=rand();
        return;
    }
    t[k].size++;
    if(t[k].v==x)
        t[k].w++;
    else if(x>t[k].v)
    {
        insert(t[k].ch[],x);
        if(t[t[k].ch[]].rnd<t[k].rnd)
            lturn(k);
    }
    else
    {
        insert(t[k].ch[],x);
        if(t[t[k].ch[]].rnd<t[k].rnd)
            rturn(k);
    }
}

插入时根据是否是叶子节点，遍历到的节点的w值等进行维护

每次插入要判断一下是否满足堆结构，进行相应的旋转调整

下面给出旋转调整的函数，基本上可以作为左旋和右旋的模板了

void rturn(int &k)
{
    int tmp=t[k].ch[];
    t[k].ch[]=t[tmp].ch[];
    t[tmp].ch[]=k;
    t[tmp].size=t[k].size;
    update(k);
    k=tmp;
}
void lturn(int &k)
{
    int tmp=t[k].ch[];
    t[k].ch[]=t[tmp].ch[];
    t[tmp].ch[]=k;
    t[tmp].size=t[k].size;
    update(k);
    k=tmp;
}

然后我们给出update函数，这里要维护的东西很少，只有一个size,所以这个时候的update就是更新size用的

void update(int k)
{
    t[k].size=t[t[k].ch[]].size+t[t[k].ch[]].size+t[k].w;
}

然后是四种基本查询工作，各种平衡树基本一致，也可以作为模板记下来了

int query_rank(int k,int x)
{
    if(k==)
        return ;
    if(t[k].v==x)
        return t[t[k].ch[]].size+;
    else if(x>t[k].v)
        return t[t[k].ch[]].size+t[k].w+query_rank(t[k].ch[],x);
    else
        return query_rank(t[k].ch[],x);
}
int query_num(int k,int x)
{
    if(k==)
        return ;
    if(x<=t[t[k].ch[]].size)
        return query_num(t[k].ch[],x);
    else if(x>t[t[k].ch[]].size+t[k].w)
        return query_num(t[k].ch[],x-t[t[k].ch[]].size-t[k].w);
    else
        return t[k].v;
}
void query_pro(int k,int x)
{
    if(k==)
        return;
    if(t[k].v<x)
        ans=k,query_pro(t[k].ch[],x);
    else
        query_pro(t[k].ch[],x);
}
void query_sub(int k,int x)
{
    if(k==)
        return;
    if(t[k].v>x)
        ans=k,query_sub(t[k].ch[],x);
    else
        query_sub(t[k].ch[],x);
}

最后我们给出完整的模板，这棵树一定要熟练掌握，只要是平衡树问题，很大可能都是用它来完成的

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int n;
 struct Tree
 {
     int v,w;
     int size;
     int rnd;
     int ch[];
 }t[maxn];
 int root;
 int size;
 int ans=;
 void update(int k)
 {
     t[k].size=t[t[k].ch[]].size+t[t[k].ch[]].size+t[k].w;
 }
 void rturn(int &k)
 {
     int tmp=t[k].ch[];
     t[k].ch[]=t[tmp].ch[];
     t[tmp].ch[]=k;
     t[tmp].size=t[k].size;
     update(k);
     k=tmp;
 }
 void lturn(int &k)
 {
     int tmp=t[k].ch[];
     t[k].ch[]=t[tmp].ch[];
     t[tmp].ch[]=k;
     t[tmp].size=t[k].size;
     update(k);
     k=tmp;
 }
 void insert(int &k,int x)
 {
     if(k==)
     {
         size++;
         k=size;
         t[k].size=t[k].w=;
         t[k].v=x;
         t[k].rnd=rand();
         return;
     }
     t[k].size++;
     if(t[k].v==x)
         t[k].w++;
     else if(x>t[k].v)
     {
         insert(t[k].ch[],x);
         if(t[t[k].ch[]].rnd<t[k].rnd)
             lturn(k);
     }
     else
     {
         insert(t[k].ch[],x);
         if(t[t[k].ch[]].rnd<t[k].rnd)
             rturn(k);
     }
 }
 void del(int &k,int x)
 {
     if(k==)
         return;
     if(t[k].v==x)
     {
         if(t[k].w>)
         {
             t[k].w--;
             t[k].size--;
             return;
         }
         if(t[k].ch[]*t[k].ch[]==)
             k=t[k].ch[]+t[k].ch[];
         else if(t[t[k].ch[]].rnd<t[t[k].ch[]].rnd)
             rturn(k),del(k,x);
         else
             lturn(k),del(k,x);
     }
     else if(x>t[k].v)
         t[k].size--,del(t[k].ch[],x);
     else
         t[k].size--,del(t[k].ch[],x);
 }
 int query_rank(int k,int x)
 {
     if(k==)
         return ;
     if(t[k].v==x)
         return t[t[k].ch[]].size+;
     else if(x>t[k].v)
         return t[t[k].ch[]].size+t[k].w+query_rank(t[k].ch[],x);
     else
         return query_rank(t[k].ch[],x);
 }
 int query_num(int k,int x)
 {
     if(k==)
         return ;
     if(x<=t[t[k].ch[]].size)
         return query_num(t[k].ch[],x);
     else if(x>t[t[k].ch[]].size+t[k].w)
         return query_num(t[k].ch[],x-t[t[k].ch[]].size-t[k].w);
     else
         return t[k].v;
 }
 void query_pro(int k,int x)
 {
     if(k==)
         return;
     if(t[k].v<x)
         ans=k,query_pro(t[k].ch[],x);
     else
         query_pro(t[k].ch[],x);
 }
 void query_sub(int k,int x)
 {
     if(k==)
         return;
     if(t[k].v>x)
         ans=k,query_sub(t[k].ch[],x);
     else
         query_sub(t[k].ch[],x);
 }
 int main()
 {
     cin>>n;
     int tmp,x;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>tmp>>x;
         switch(tmp)
         {
             case :insert(root,x);break;
             case :del(root,x);break;
             case :cout<<query_rank(root,x)<<endl;break;
             case :cout<<query_num(root,x)<<endl;break;
             case :ans=;query_pro(root,x);cout<<t[ans].v<<endl;break;
             case :ans=;query_sub(root,x);cout<<t[ans].v<<endl;break;
         }
     }
     return ;
 }