算法题解：最大或最小的K个数（海量数据Top K问题）

题目

输入 n 个整数，找出其中最小的 k 个数。例如输入4、5、1、6、2、7、3、8 这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。

初窥

这道题最简单的思路莫过于把输入的 n 个整数排序，排序之后位于最前面的 k 个数就是最小的 k 个数。这种思路的时间复杂度是 O(nlogn)。

解法一：脱胎于快排的O(n)的算法

如果基于数组的第 k 个数字来调整，使得比第 k 个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第 k 个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的 k 个数字就是最小的 k 个数字（这 k 个数字不一定是排序的）。下面是基于这种思路的参考代码：

public class LeastK {

    public static void getLeastNumbers(int[] input, int[] output) {
        if (input == null || output == null || output.length <= 0 || input.length < output.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Invalid args");
        }

        int start = 0;
        int end = input.length - 1;
        int index = partition(input, start, end); //切分后左子数组的长度
        int target = output.length - 1; //K-1

        //若切分后左子数组长度不等于K
        while (index != target) {
            //若切分后左子数组长度小于K，那么继续切分右子数组，否则继续切分左子数组
            if (index < target) {
                start = index + 1;
            } else {
                end = index - 1;
            }
            index = partition(input, start, end);
        }

        System.arraycopy(input, 0, output, 0, output.length);
    }

    private static int partition(int arr[], int left, int right) {
        int i = left;
        int j = right + 1;
        int pivot = arr[left];

        while (true) {
            //找到左边大于pivot的数据，或者走到了最右边仍然没有找到比pivot大的数据
            while (i < right && arr[++i] < pivot) { //求最大的k个数时，arr[++i] > pivot
                if (i == right) {
                    break;
                }
            }
            //找到右边小于pivot的数据，或者走到了最左边仍然没有找到比pivot小的数据
            while (j > left && arr[--j] > pivot) { //求最大的k个数时，arr[--j] < pivot
                if (j == left) {
                    break;
                }
            }
            //左指针和右指针重叠或相遇，结束循环
            if (i >= j) {
                break;
            }
            //交换左边大的和右边小的数据
            swap(arr, i, j);
        }
        //此时的 a[j] <= pivot，交换之
        swap(arr, left, j);
        return j;
    }

    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }

}

采用上面的思路是有限制的，比如需要修改输入的数组，因为函数 Partition 会调整数组中的顺序，当然了，这个问题完全可以通过事先拷贝一份新数组来解决。值得说明的是，这种思路是不适用于处理海量数据的。若是遇到海量数据求最小的 k 个数的问题，可以使用下面的解法。

解法二：适合处理海量数据的O(nlogk)的算法

我们可以先创建一个大小为K的数据容器来存储最小的 k 个数字，接下来我们每次从输入的 n 个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于 k 个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有 k 个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。找出这已有的 k 个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的 k 个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做 3 件 事情：一是在 k 个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于 n 个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到 k 个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在 O(1) 得到已有的 k 个数字中的最大值，但需要 O(logk) 时间完成删除及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码，这在面试短短的几十分钟内很难完成。我们还可以采用 Java 提供的具有优先级的队列来实现我们的容器。

public class LeastK {

    public static Integer[] getLeastNumbers(int[] nums, int k) {
        // 默认自然排序，需手动转为降序
        PriorityQueue<Integer> maxQueue = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                if (o1 > o2) {
                    return -1;
                } else if (o1 < o2) {
                    return 1;
                }
                return 0;
            }
        });
        for (int num : nums) {
            if (maxQueue.size() < k || num < maxQueue.peek()) { // peek()：返回队列头部的值，也就是队列最大值
                // 插入元素
                maxQueue.offer(num);
            }
            if (maxQueue.size() > k) {
                // 删除队列头部
                maxQueue.poll();
            }
        }
        return maxQueue.toArray(new Integer[0]);
    }

}

海量数据求Top K

Top K 问题是在面试中经常被问到的问题，比如：从20亿个数字的文本中，找出最大的前100个。

若是遇到此类求海量数据中最大的 k 个数的问题，可以参考上面的求最小的 k 个数，实现如下的 Java 代码：

public class TopK {

    public Integer[] getLargestNumbers(int[] nums, int k) {
        PriorityQueue<Integer> minQueue = new PriorityQueue<>(k); // 默认自然排序
        for (int num : nums) {
            if (minQueue.size() < k || num > minQueue.peek()) { // peek()：返回队列头部的值，也就是队列最小值
                // 插入元素
                minQueue.offer(num);
            }
            if (minQueue.size() > k) {
                // 删除队列头部
                minQueue.poll();
            }
        }
        return minQueue.toArray(new Integer[0]);
    }

}

最大堆的源代码

如果对最大堆的实现源码比较感兴趣的话，可以参考下面的代码自行学习。

public class MaxHeapAndTopK {

    /**
     * 大顶堆
     *
     * @param <T> 参数化类型
     */
    private final static class MaxHeap<T extends Comparable<T>> {
        // 堆中元素存放的集合
        private List<T> items;
        // 用于计数
        private int cursor;

        /**
         * 构造一个椎，始大小是32
         */
        public MaxHeap() {
            this(32);
        }

        /**
         * 造诣一个指定初始大小的堆
         *
         * @param size 初始大小
         */
        public MaxHeap(int size) {
            items = new ArrayList<>(size);
            cursor = -1;
        }

        /**
         * 向上调整堆
         *
         * @param index 被上移元素的起始位置
         */
        public void siftUp(int index) {
            T intent = items.get(index); // 获取开始调整的元素对象

            while (index > 0) { // 如果不是根元素
                int parentIndex = (index - 1) / 2; // 找父元素对象的位置
                T parent = items.get(parentIndex);  // 获取父元素对象
                if (intent.compareTo(parent) > 0) { //上移的条件，子节点比父节点大
                    items.set(index, parent); // 将父节点向下放
                    index = parentIndex; // 记录父节点下放的位置
                } else { // 子节点不比父节点大，说明父子路径已经按从大到小排好顺序了，不需要调整了
                    break;
                }
            }

            // index此时记录是的最后一个被下放的父节点的位置（也可能是自身），所以将最开始的调整的元素值放入index位置即可
            items.set(index, intent);
        }

        /**
         * 向下调整堆
         *
         * @param index 被下移的元素的起始位置
         */
        public void siftDown(int index) {
            T intent = items.get(index);  // 获取开始调整的元素对象
            int leftIndex = 2 * index + 1; // // 获取开始调整的元素对象的左子结点的元素位置

            while (leftIndex < items.size()) { // 如果有左子结点
                T maxChild = items.get(leftIndex); // 取左子结点的元素对象，并且假定其为两个子结点中最大的
                int maxIndex = leftIndex; // 两个子节点中最大节点元素的位置，假定开始时为左子结点的位置

                int rightIndex = leftIndex + 1;  // 获取右子结点的位置
                if (rightIndex < items.size()) {  // 如果有右子结点
                    T rightChild = items.get(rightIndex);  // 获取右子结点的元素对象
                    if (rightChild.compareTo(maxChild) > 0) {  // 找出两个子节点中的最大子结点
                        maxChild = rightChild;
                        maxIndex = rightIndex;
                    }
                }

                // 如果最大子节点比父节点大，则需要向下调整
                if (maxChild.compareTo(intent) > 0) {
                    items.set(index, maxChild); // 将子节点向上移
                    index = maxIndex; // 记录上移节点的位置
                    leftIndex = index * 2 + 1; // 找到上移节点的左子节点的位置
                } else { // 最大子节点不比父节点大，说明父子路径已经按从大到小排好顺序了，不需要调整了
                    break;
                }
            }

            // index此时记录是的最后一个被上移的子节点的位置（也可能是自身），所以将最开始的调整的元素值放入index位置即可
            items.set(index, intent);
        }

        /**
         * 向堆中添加一个元素
         *
         * @param item 等待添加的元素
         */
        public void add(T item) {
            items.add(item); // 将元素添加到最后
            siftUp(items.size() - 1); // 循环上移，以完成重构
        }

        /**
         * 删除堆顶元素
         *
         * @return 堆顶部的元素
         */
        public T deleteTop() {
            if (items.isEmpty()) { // 如果堆已经为空，就报出异常
                throw new RuntimeException("The heap is empty.");
            }

            T maxItem = items.get(0); // 获取堆顶元素
            T lastItem = items.remove(items.size() - 1); // 删除最后一个元素
            if (items.isEmpty()) { // 删除元素后，如果堆为空的情况，说明删除的元素也是堆顶元素
                return lastItem;
            }

            items.set(0, lastItem); // 将删除的元素放入堆顶
            siftDown(0); // 自上向下调整堆
            return maxItem; // 返回堆顶元素
        }

        /**
         * 获取下一个元素
         *
         * @return 下一个元素对象
         */
        public T next() {

            if (cursor >= items.size()) {
                throw new RuntimeException("No more element");
            }
            return items.get(cursor);

        }

        /**
         * 判断堆中是否还有下一个元素
         *
         * @return true堆中还有下一个元素，false堆中无下五元素
         */
        public boolean hasNext() {
            cursor++;
            return cursor < items.size();
        }

        /**
         * 获取堆中的第一个元素
         *
         * @return 堆中的第一个元素
         */
        public T first() {
            if (items.size() == 0) {
                throw new RuntimeException("The heap is empty.");
            }
            return items.get(0);
        }

        /**
         * 判断堆是否为空
         *
         * @return true是，false否
         */
        public boolean isEmpty() {
            return items.isEmpty();
        }

        /**
         * 获取堆的大小
         *
         * @return 堆的大小
         */
        public int size() {
            return items.size();
        }

        /**
         * 清空堆
         */
        public void clear() {
            items.clear();
        }

        @Override
        public String toString() {
            return items.toString();
        }
    }

    /**
     * 题目： 输入n个整数，找出其中最小的k个数
     *
     * @param input  输入数组
     * @param output 输出数组
     */
    public static void getLeastNumbers(int[] input, int[] output) {
        if (input == null || output == null || output.length <= 0 || input.length < output.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Invalid args");
        }

        MaxHeap<Integer> maxHeap = new MaxHeap<>(output.length);
        for (int i : input) {
            if (maxHeap.size() < output.length) {
                maxHeap.add(i);
            } else {
                int max = maxHeap.first();
                if (max > i) {
                    maxHeap.deleteTop();
                    maxHeap.add(i);
                }
            }
        }

        for (int i = 0; maxHeap.hasNext(); i++) {
            output[i] = maxHeap.next();
        }
    }

}

参考资料

[1] 《剑指offer》