NOIP模拟赛 拓展
题目描述 Description###
\(φ\) 函数是数论中非常常用的函数。对于正整数 \(x\) ,\(φ(x)\) 表示不超过 \(x\) 的所有正整数与 \(x\) 互质的个数。
现在我们对它进行一次拓展:对于正整数 \(x\) ,\(y\) ,定义 \(φ(x,y)\) 表示不超过 \(y\) 的所有正整数与 \(x\) 互质的个数。
现在我们给定正整数 \(n\) 和 \(m\) ,对于所有不超过 \(n\) 的正整数 \(i\) ,求 \(φ(i,m)\) 。
输入描述 Input Description###
输入仅一行两个正整数 \(n\) 和 \(m\) 。
输出描述 Output Description###
输出 \(n\) 行,每行一个整数。第 \(i\) 行表示 \(φ(i,m)\) 。
样例输入 Sample Input###
11 10
样例输出 Sample Output###
10
5
7
5
8
3
9
5
7
4
10
数据范围及提示 Data Size & Hint###
\(n \leq 10^5,m \leq 10^{15}\)
之前的一些废话###
题解###
正难则反,我们考虑\(m\) 以内能被\(n\) 整除的所有数,含有所有\(n\) 的因子的很显然是可以的,然后我们就可以通过容斥原理来加加减减来求得这个值,找找规律可以发现,含有平方因子的数不会参与其中的讨论,含有奇数个质因子的数应该是加,含有偶数个质因子的数应该是减,所以我们来一个素数筛来预处理每一个数的符号,然后$\sqrt{i} $ 的时间枚举每一个i的因数,然后进行计算。复杂度$ O(预处理+n\sqrt{n} )$
代码###
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
inline LL read()
{
LL x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=100000;
int n,prime[maxn],end,sign[maxn+20];
LL m,sum;
bool vis[maxn+20];
void init()
{
for(int i=2;i<=maxn;i++)
if(!vis[i])
{
prime[++end]=i;
for(LL j=(LL)i*(LL)i;j<=(LL)maxn;j+=i)vis[j]=1;
}
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!vis[i])sign[i]=1;
if(!sign[i])continue;
for(int j=1;j<=end && (LL)i*(LL)prime[j]<=maxn;j++)
{
if(i%prime[j]==0)sign[i*prime[j]]=0;
else sign[i*prime[j]]=-sign[i];
}
}
}
int main()
{
init();
n=(int)read();m=read();
printf("%lld\n",m);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int s=(int)sqrt(i);
sum=0ll;
for(int j=1;j<=s;j++)
if(i%j==0)
{
if(j!=1)sum+=(m/j)*sign[j];
if(j*j!=i)sum+=(m/(i/j))*sign[i/j];
}
printf("%lld\n",m-sum);
}
return 0;
}
总结###
找找规律画画图这种题还是比较简单的。
事后发现这玩意居然是莫比乌斯函数,我居然自己推出了这么高深的东西!
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