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描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵,你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如,如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中,依次(首先从左到右给出第一行的N个整数,再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数,整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1 8 0 -2
样例输出
15
来源
翻译自 Greater New York 2001 的试题
----------------------------------
降维后用1维的DP计算最大值
枚举y1和y2,用二维前缀和或者对枚举边递推把x处y1和y2之间的一列压成一个格
//二维前缀和
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=;
int n,a[N][N],s[N][N],ans=-1e5,f[N];
void init(){
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
s[i][j]=s[i][j-]+s[i-][j]-s[i-][j-]+a[i][j];
}
inline int get(int x,int y1,int y2){
return s[x][y2]-s[x-][y2]-s[x][y1]+s[x-][y1];
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
init();
for(int y2=;y2<=n;y2++)
for(int y1=;y1<y2;y1++)
for(int x=;x<=n;x++){
f[x]=max(,f[x-])+get(x,y1,y2);
ans=max(ans,f[x]);
}
cout<<ans;
return ;
}
//c[x]递推,当前压缩的值
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=;
int n,a[N][N],c[N],ans=-1e5,f[N];
int main(int argc, const char * argv[]) {
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
for(int y1=;y1<n;y1++){
memset(c,,sizeof(c));
for(int y2=y1+;y2<=n;y2++)
for(int x=;x<=n;x++){
c[x]+=a[x][y2];
f[x]=max(,f[x-])+c[x];
ans=max(ans,f[x]);
}
}
cout<<ans;
return ;
}

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