BZOJ2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

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常规数论题，利用欧拉函数的相关性质。

题求$[1,N!]$中与$M!$互质的数的个数，且$M \leq N$。然后根据欧拉函数的相关性质很容易得出这道题的答案为$\frac{\phi (M!) \times N!} {M!}$。欧拉函数并不是完全积性函数，所以$M!$的欧拉函数值并不能很容易的求出来。但是根据欧拉函数的式子，可以发现$\phi (M!)$的值其实也可以预处理出来，即$\phi(M!)=M! \prod\limits ^{P_i \in [2,M]} (1-\frac{1}{P_i})$。然后根据乘法逆元就可以预处理出全部的答案。

//BZOJ 2186
//by Cydiater
//2016.10.9
#include <iostream>
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#include <ctime>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)        for(ll i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)        for(ll i=j;i>=n;i--)
const ll MAXN=1e7+5;
const ll LIM=1e7;
const ll oo=1LL<<40;
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll x=0,f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll N,M,T,mod,prime[MAXN],cnt=0,ans[MAXN],fac[MAXN];
bool vis[MAXN];
namespace solution{
    void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
        if(b==0){x=1;y=0;return;}
        exgcd(b,a%b,x,y);
        ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    }
    ll inv(ll num){
        ll a=num,b=mod,x,y;
        exgcd(a,b,x,y);
        while(x<0)x+=b;
        return x;
    }
    void pret(){
        fac[1]=1;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        up(i,2,LIM){
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
            if(!vis[i])prime[++cnt]=i;
            up(j,1,cnt){
                if(prime[j]*i>LIM)break;
                vis[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0)break;
            }
        }
        ans[1]=1;
        up(i,2,LIM){
            ans[i]=ans[i-1];
            if(!vis[i])ans[i]=ans[i]*(i-1)%mod*inv(i)%mod;
        }
    }
}
int main(){
    freopen("input.in","r",stdin);
    using namespace solution;
    T=read();mod=read();
    pret();
    while(T--){
        N=read();M=read();
        printf("%lld\n",ans[M]*fac[N]%mod);
    }
    return 0;
}