算法与数据结构(七) AOV网的拓扑排序

今天博客的内容依然与图有关，今天博客的主题是关于拓扑排序的。拓扑排序是基于AOV网的，关于AOV网的概念，我想引用下方这句话来介绍：

AOV网：在现代化管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动（Activity)，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。

说的简单点，AOV网就是表示一个工程中某些子项的先后顺序。就拿工地搬砖来说吧，只有砖厂送来砖，工人才能搬。那么砖厂送砖就是搬砖的前提。先这么一聊，下方会给出详细的介绍。废话少说进入今天的主题。

一、AOV网与拓扑排序

本篇博客我们先聊一下AOV网和拓扑排序的关系，下方是我们列举的一个非常简单的例子，当然下方的这个图就是一个简单的AOV图，麻雀虽小，五脏俱全。在下方的AOV图中，送砖和找人是并列的，先执行谁都行。不过搬砖的前提是即送完了砖也找完了人，然后就可以开始搬砖了，所以送砖和找人就是搬砖的前提。那么让搬砖这件事情顺利进行下去的顺序有"送砖->找人->搬砖"或者“找人->送砖->搬砖”这两个序列，而这两个序列都是拓扑序列。

　　

生成“送砖->找人->搬砖”这个序列的过程我们称之为拓扑排序。如果非得说的官方和抽象点，那么还是引用拓扑排序的定义吧，下方就是拓扑排序的定义：

拓扑排序：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

上面这个定义就比较抽象了，当然还是我们搬砖的例子好理解一些。在有向无环图中的结点如果有入度的话，那么就说明该结点优先级要低于那些可以到达改点的结点。而那些没有入度的结点的优先级就比较高，这些结点的完成不依赖与其他结点。这样说如果有些抽象的话，那么我们就看下方拓扑排序详细的示例图。

二、拓扑排序示意图

本部分我们将会给出拓扑排序详细的示意图。拓扑排序实现是依赖于栈与队列的数据结构，栈用来暂存那些入度为0的结点，而队列负责存储已经生成的拓扑序列。因为前几篇关于图的博客，我们都使用了相同的图结构。本篇博客也不例外，我们依然会使用之前的有向图，因为之前的图是有向无环图，所以是可以生成拓扑序列的。下方就是要生成拓扑序列的有向无环图。

在下方的有向无环图每个结点上有一个绿色的数字，该数字记录的就是该结点的入度。入度为零，那么该数字就是0，如果入度为1，那么该数字就是1。

　　

下方是下图拓扑排序每一步的示意图。接下来我们将会给出下方每一步示意图的详细解说。

• （1）：首先将图中入度为0的结点入栈，因为此图中只有A结点的入度为0，所以我们将A入栈。

• （2）：将A从栈中Pop到我们的拓扑队列中，将那些以A发出的边为入度的结点的度数减一。对于此示例来说也就是将B和F入度减1. 因为B和F的入度数减一后成了0，所以也将B, F这两结点入栈。

• （3）：将F从栈中Pop到拓扑队列中，因为图中有F->G和F->E两条边，所以将G和E的入度数减一。因为E的入度数减一后为0，所以将E入栈。

• （4）：将E从栈中Pop到拓扑队列中，因为图中E->H和E->D两条边，所以讲H和D的两个结点的入度减一。两个结点减一操作后没有入度为零的节点，所以本步没有结点入栈。

• （5）：接着从栈中Pop结点到拓扑队列中，将B结点Pop出栈入拓扑队列。因为C、I、G结点与B相连，B添加进拓扑序列后，这三个结点的入度都减一。C和G的入度减一后为0，所以将其加入栈中。

• （6）：将C从栈中pop到拓扑队列中，与C相连的结点是I和D, 将这两个结点的入度减1。I的入度减一后为0，将其Push到栈中暂存。

• （7）：将I结点从栈中pop到拓扑队列中，D与I相连，将D的入度再次减一。本轮没有要入栈的结点。

• （8）：将G从栈中pop到拓扑队列中，G与H和D相连，将D与H的入度减一。H的入度减一操作后入度为零将其入栈。

• （9）：将H从站中pop到拓扑队列中，D与H相连，将D的入度减一，减一后为0，所以将D入栈。

• （10）：将D从栈中pop到拓扑队列中，此刻栈中为空，拓扑序列生成完毕。

　　

　　

上面这些步骤已经很详细了，上面这些步骤搞明白后，给出代码实现就简单多了。下方我们会给出具体的代码实现。

三、拓扑排序的代码实现

讲完概念和原理后，接下来我们就要开始实践了。本部分就会给出具体的代码实现，当然我们依然采用Swift语言来做。首先我们创建要依赖的队列和栈，然后再构建有向图的邻接链表，最后给出拓扑排序的代码实现。进入本部分的主题：

1.队列与栈

接下来我们就要实现拓扑序列生成时要使用的栈与队列，关于栈与队列本篇博客就不做过多的赘述了，因为我们之前已经对栈与队列做了详细的介绍。关于栈与队列更详细的内容请查看之前的博客《栈与队列的线性和链式表示（Swift面向对象版）》。

下方这段代码段就是我们本篇博客要使用的栈的类，当然是简化版的，也就是对Array做了一个简单的封装。栈中存储的数据类型是我们邻接链表的结点。具体代码如下所示。

　　

下方则是我们存储拓扑序列的队列，当然也是基于Array的简单封装。

　　

2.有向图的构建

接下来我们来创建我们的有向图。本篇博客所使用的有向图我们是使用邻接链表来表示的。下方这段代码段就是邻接链表的结点，当然在之前不知一篇博客中我们使用到了下方这个结点。本篇博客中的weightNumber不仅仅只存边的权值，在数组中的结点的weightNumber我们用来存储该结点的入度。

　　

下方这段代码就是有向图的创建，在网邻接链表上挂入结点时，要讲被挂入的结点的入度加1即可。因为下方代码与之前图的创建的代码类似，在此就不做过多赘述了。

　　

下方这两个截图则是上述代码段的输入和输出。根据输出的结果我们不难看出我们所创建的图就是一个有向图。

　　

　　

3、拓扑序列的生成

接下来就是我们本篇博客代码实现的核心了。我们将基于上面创建的AOV网来生成拓扑序列。其实下方生成拓扑序列的代码就是上述示例描述的具体实现。接下来我们将具体的说下下方这段拓扑排序的代码。主要概括起来分为下方三步：

• （1）：首先初始化我们所需要的栈，然后遍历AOV网中所有的结点，将入度为0的结点添加到我们的栈中暂存。

• （2）：循环将我们栈中的元素添加到拓扑队列中。每从栈中Pop出一个结点就把与该结点相连的结点的入度减1，如果减一后该结点的度数为0则将其入栈。然后继续下一轮的循环。

• （3）：当栈中没有暂存的结点后，说明拓扑序列生成完毕。如果拓扑队列中的元素要小于图结点的个数，那么说明图中存在环路，不能生成相应的拓扑序列。

　　

下方截图就是我们之前创建的有向图所生成的拓扑序列，如下所示:

　　

至此，我们本篇博客的内容也就结束了，下方依然是我们本篇博客所涉及Demo的分享链接，如下所示：

github分享链接：https://github.com/lizelu/DataStruct-Swift/tree/master/TopoLogicalSort