CodeForces 628D Magic Numbers (数位dp)

题意：找到[a, b]符合下列要求的数的个数。

1、该数字能被m整除

2、该数字奇数位全不为d，偶数位全为d

分析：

1、dp[当前的位数][截止到当前位所形成的数对m取余的结果][当前数位上的数字是否到达了上限]

2、对于第三维的上限，例如一个数字是54362，那么如果前四位是5436，那么前四位都到达了上限，第五位可以从0枚举所有可能，例如如果第五位是1，那么就没到达上限，如果是6就到达了上限，简而言之，就是个匹配的问题。

需要注意的是，上限不是指第二位数字只能是0~4，第三位数字只能是0~3，如果前三位是495，虽然没到达上限，但是也是一种可能的情况

3、枚举余数，截止到某一位所形成的新的数字，是由上一位的余数计算的来，所以加上第i位所形成的有新余数的新数字应该继承前i-1为所形成的有旧余数的数字的情况数

4、大整数取余，从最左位起，设ans = s[i - 1] - '0'，分别ans = (ans * 10 + s[i] - '0')% m,计算的结果ans是截止到该位所形成的数字对m取余的结果，由此可知，计算到最右位以后，若该数能被m整除，ans应为0

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#include<cctype>
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#include<list>
#define Min(a, b) a < b ? a : b
#define Max(a, b) a < b ? b : a
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const ll LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int dr[] = {, , -, };
const int dc[] = {-, , , };
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-;
const int MOD = 1e9 + ;
const int MAXN =  + ;
const int MAXT =  + ;
using namespace std;
char a[MAXN], b[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN][];
int m, d;
int solve(char *s){//只能计算相同位数范围内的，例如若s=1956，则只计算1000到1956范围内满足条件的
    memset(dp, , sizeof dp);
    int len = strlen(s);
    //初始化第一位
    for(int i = ; i < ; ++i){
        if(i == d) continue;
        if(i < s[] - '') ++dp[][i % m][];
        else if(i == s[] - '') ++dp[][i % m][];
    }
    for(int i = ; i < len; ++i){
        if(i & ){//偶数位一定为d
            for(int j = ; j < m; ++j){
                int tmp = (j *  + d) % m;//假设截止到该位所形成的数字为y，而原串截止到该位所形成的数字是5436
                (dp[i][tmp][] += dp[i - ][j][]) %= MOD;//y为4989
                if(d < s[i] - '') (dp[i][tmp][] += dp[i - ][j][]) %= MOD;//y为5431
                else if(d == s[i] - '') (dp[i][tmp][] += dp[i - ][j][]) %= MOD;//y为5436
            }
        }
        else{
            for(int j = ; j < ; ++j){//奇数位可能是各种数字，所以枚举
                if(j == d) continue;
                for(int k = ; k < m; ++k){
                    int tmp = (k *  + j) % m;
                    (dp[i][tmp][] += dp[i - ][k][]) %= MOD;//分析中第2条的情况，形成的数字由于之前的位都没达到上限，所以这一位的数字无论多大，截止到该位所形成的数字都不会大于上限
                    if(j < s[i] - '') (dp[i][tmp][] += dp[i - ][k][]) %= MOD;//之前的位到达上限，该位没到达
                    else if(j == s[i] - '') (dp[i][tmp][] += dp[i - ][k][]) %= MOD;//之前的位到达上限，该位也到达
                }
            }
        }
    }
    return (dp[len - ][][] + dp[len - ][][]);//只要是截止到len-1位，余数为0的情况都满足，dp[len - 1][0][1]就是s是否满足条件
}
int judge(char *s){//判断该数字是否满足条件
    int ans = ;
    for(int i = ; s[i]; ++i){
        if(i %  ==  && s[i] - '' == d) return ;
        if(i &  && s[i] - '' != d) return ;
        ans = (ans *  + s[i] - '') % m;
    }
    return (ans == ) ?  : ;
}
int main(){
    scanf("%d%d%s%s", &m, &d, a, b);
    int ans = solve(b) - solve(a) + judge(a);//因为solve只能计算相同位数范围内的，因此不能solve(b) - solve(a - 1)，假设a为1000，a-1为999
    printf("%d\n", (ans + MOD) % MOD);//注意+MOD，因为solve是MOD取余的结果，可能造成solve(b) - solve(a)为负数
    return ;
}