P2520 [HAOI2011]向量

题目描述

给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。

说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

输入输出格式

输入格式：

第一行数组组数t，(t<=50000)

接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*10^9<=a,b,x,y<=2*10^9)

输出格式：

t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

Y

N

Y

说明

样例解释：

第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)

第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)

Solution：

　　首先，我们注意到题目中的向量实际只有4种操作：$$(a,b),(b,a),(a,-b),(b,-a)$$

　　于是由题意得方程组：

　　$$k(a,b)+q(b,a)+w(a,-b)+c(b,-a)=(x,y) --> (k+w)a+(q+c)b=x,(k-w)b+(q-c)a=y$$

　　由裴蜀定理可得：$$a*x+b*y=c$$

　　x和y有整数解的充要条件是$$gcd(a,b)|c$$

　　证明：令$$a=p*gcd(a,b),b=q*gcd(a,b)$$

　　则原式=$$(p*x+q*y)*gcd(a,b)=c$$

　　显然因为gcd(a,b)为整数，而要使x和y为整数，则gcd(a,b)|c。

　　我们回到开始的方程组$$(k+w)a+(q+c)b=x,(k-w)b+(q-c)a=y$$

　　由裴蜀定理易得:(k+w),(q+c),(k-w),(q-c)均为整数的充要条件是$$gcd(a,b)|x且gcd(a,b)|y$$

　　但是注意到(k+w),(k-w)有整数解不一定k和w有整数解（(q+c)和(q-c)是同理的）。此时不妨设$$(k+w)=f,(k-w)=g$$

　　则$$k=(f+g)/2,w=(f-g)/2$$

　　因为$$2|(f+g)且2|(f-g)$$

　　显然要使$k$和$w$均为整数则$f$和$g$均为偶数或均为奇数（$(q+c)$和$(q-c)$同理）。

　　于是我们考虑这四种情况：

　　1、当$(k+w),(k-w),(q+c),(q-c)$均为偶数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$ 提公因数$2$结合 $gcd(a,b)|x -->gcd(a,b)*2|x$ 同理 $gcd(a,b)*2|y$

　　2、当$(k+w),(k-w)$为偶数，$(q+c),(q-c)$为奇数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$先左右两边同加$b$，再提公因数$2$结合 $gcd(a,b)|x-->gcd(a,b)*2|x+b$ 同理$gcd(a,b)*2|y+a$

　　3、当$(k+w),(k-w)$为奇数，$(q+c),(q-c)$为偶数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$先左右两边同加$a$，再提公因数$2$结合$gcd(a,b)|x-->gcd(a,b)*2|x+a$ 同理$gcd(a,b)*2|y+b$

　　4、当$(k+w),(k-w),(q+c),(q-c)$均为奇数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$先左右两边同加$a+b$，再提公因数$2$结合$gcd(a,b)|x-->gcd(a,b)*2|x+a+b$同理 $gcd(a,b)*2|y+a+b$

　　只要满足上述的任意一种情况，则说明本题$k,w,q,c$有整数解，说明可行，否则说明无解。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define il inline

#define ll long long

#define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)

using namespace std;

ll t,a,b,x,y,k;

il int gi()

{

    ll a=;char x=getchar();bool f=;

    while((x<''||x>'')&&x!='-')x=getchar();

    if(x=='-')x=getchar(),f=;

    while(x>=''&&x<='')a=a*+x-,x=getchar();

    return f?-a:a;

}

il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

il bool check(ll x,ll y){return x%k==&&y%k==;}

int main()

{

    t=gi();

    while(t--){

        a=gi(),b=gi(),x=gi(),y=gi();

        k=gcd(a,b)*;

        if(check(x,y)||check(x+a,y+b)||check(x+b,y+a)||check(x+a+b,y+a+b))printf("YE5\n");

        else printf("N0\n");

    }

    return ;

}