深度学习笔记(一)：logistic分类【转】

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这个系列主要记录我在学习各个深度学习算法时候的笔记，因为之前已经学过大概的概念，所以这轮学习比较着重于公式推导和具体实现，而对概念上的描述不多，因此比较适合对此有一定基础的同学。

在正式开始写深度学习的知识之前，会有两节传统神经网络的内容，因为深度学习中大量运用了以往神经网络的知识。搞懂传统的神经网络如何工作是很有必要的，有助于对之后的学习打下坚实的基础。

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1. logistic分类

几乎所有的教材都是从logistic分类开始的，因为logistic分类实在太经典，而且是神经网络的基本组成部分，每个神经元(cell)都可以看做是进行了一次logistic分类。

所谓logistic分类，顾名思义，逻辑分类，是一种二分类法，能将数据分成0和1两类。

logistic分类的流程比较简单，主要有线性求和，sigmoid函数激活，计算误差，修正参数这4个步骤。前两部用于判断，后两步用于修正。本文分为3部分，前2部分讲普通logistic分类的流程，第三部分则稍作扩展。

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1.1 线性求和以及sigmoid函数

第1,2步是用于根据输入来判断分类的，所以放在一起说。假设有一个n维的输入列向量 xx，也有一个n维的参数列向量hh， 还有一个偏置量b， 那么就可以线性求和得到z.

 

z=hTx+bz=hTx+b

此时因为z的值域是[−∞,+∞][−∞,+∞] ，是无法根据z来判断xx 到底是属于0还是1的。因此我们需要一个函数，来将z的值映射到[0,1]之间， 这就是激活函数。激活函数有很多种，这里的激活函数是sigmoid函数。

 

σ(x)=11+e−xσ′(x)=σ(x)(1−σ(x))σ(x)=11+e−xσ′(x)=σ(x)(1−σ(x))

其形状为

 
图1 sigmoid函数

可以看到x越大，σ(x)σ(x)越接近1，反之，则越接近0. 那么在判断的时候，我们首先对之前得到的z代入sigmoid函数

 

a=σ(z)=σ(hTx+b)a=σ(z)=σ(hTx+b)

当 a 大于0.5的时候，我们判定x应属于1类，如果小于0.5，则属于0类。这样，就完成了判断的工作

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1.2 误差计算以及参数修正

上面完成的判断过程中用到了参数向量h和偏置量b。 可以说，h和b的值直接关系到logistic判断的准确性。那么这两组参数是如何获得的呢？这就涉及到了参数的修正。在最开始的时候，h中的值是随机的，而b的值是0. 我们通过不断的训练来使得h和b能够尽可能的达到一个较优的值。

那么如何训练呢？假设我们期望输入x的判定是y，而实际得到的判定值是a，那么我们定义一个损失函数C(a,y)，通过修正h和b的值来使得C最小化，这是一个优化问题。在凸优化问题中，可以通过

 

∂C∂h=0,∂C∂b=0∂C∂h=0,∂C∂b=0

来直接算得h和b的最优解。然而在某些情况下，例如数据规模很大，或者非凸优化问题中，则不能这么做，而是用迭代的方法来得到局部最优解。

 

h:=h−η∂C∂hb:=b−η∂C∂bh:=h−η∂C∂hb:=b−η∂C∂b

其中 ηη 表示学习率。在这里，我们把损失函数定为平方损失函数，即C=12(a−y)2C=12(a−y)2 那么可以得到

 

∂C∂h====C′∂a∂h(a−y)∂σ(z)∂h(a−y)σ′x(a−y)a(1−a)x∂C∂h=C′∂a∂h=(a−y)∂σ(z)∂h=(a−y)σ′x=(a−y)a(1−a)x

 

∂C∂b=(a−y)a(1−a)∂C∂b=(a−y)a(1−a)

这样，就能够得到每次迭代的参数更新公式为

 

h:=h−η(a−y)a(1−a))xb:=b−η(a−y)a(1−a))h:=h−η(a−y)a(1−a))xb:=b−η(a−y)a(1−a))

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1.3 将logistic扩展到多分类

从之前可以看出，普通的logistic只能进行二分类，即只能够分为0或者1。那么如果这些样本属于多个类该怎么办呢？人们想了很多办法，例如一对多法，依次把某个类别的样本归为一类,其他剩余的样本归为另一类，这样k个类需要构建k个分类器。还有一对一法，在任意两类样本之间设计一个分类器，k个类需要k(k-1)/2个分类器。

在这里，我们将输出由一个值更改为一个向量。例如有3个类，那么输出就是一个长度为3 的列向量，对应项的值为1，其他为0.即

 

⎡⎣⎢⎢100⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢010⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢001⎤⎦⎥⎥[100][010][001]

分别表示第0,1,2个类。 也可以看成是原来若干个logistic分类器组合在一起。对应的某个分类器只对该类输出1，其他情况都输出0.从这一点上来讲，这个做法有点类似于一对多法。此时，由于输出从一个数成为一个向量，之前的公式都要加以修改。首先，原来的y,a,z,b变成了列向量， 向量hh变成了矩阵W。这样，判断部分的公式变为

 

z=Wx+ba=σ(z)z=Wx+ba=σ(z)

此时的σσ函数表示对向量中的每一个元素单独做运算。即

 

σ(x)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢σ(x1)σ(x2)⋮σ(xn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥σ(x)=[σ(x1)σ(x2)⋮σ(xn)]

得到的a向量中，其最大值所在的位置索引即为判断出的分类。 
参数修正部分的公式也是类似的，

 

∂C∂W=(a−y).×a.×(1−a)×xT∂C∂b=(a−y).×a.×(1−a)∂C∂W=(a−y).×a.×(1−a)×xT∂C∂b=(a−y).×a.×(1−a)

注意有些向量之间是进行点乘的。