【NOIP2013提高组T3】加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5

5 7 1 2 10

输出样例#1：

145

3 1 2 4 5

算法：

区间DP

 

分析：

这个10多年前的提高组试题其实也不算太难，但是有很多要注意的小点。

首先这道题上手先分析感觉和树形DP有点关系，然而再看清楚一点呢，就发现它其实只是在区间上dp，然而树只是对它的一个约束。

我们先来简化题目，假如我问的是在一个区间上求最大加分，那么这个状态转移方程应该很容易得到，就是f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k])其中表示从i到j的区间最大值，k满足i<=k<=j。

注意这里可以取等。

 

接下来，有一个性质：

对于任意二叉树，其中序遍历中的任意一段区间的根节点可以是任何一个节点。

 

那么问题解决。

 

这个就可以直接套用到区间DP中，不过还要记录下相应的i，j的根节点是什么。最后输出先序遍历的过程其实就是dfs的思想，加一个记忆化搜索会提高效率。

 

要点注意：

1、为了方便调试，可以将数组开到6，但注意要调回正常值在提交

2、存答案的数组要用long long，否则会wa

3、记忆化部分要确定有值（非空子树）才递归下去

4、初始化答案数组f要放在输入前

5、注意要先定好某次递推的区间长度，否则会找到没运算过的值。

上代码：

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 long long f[][];                            //注意要用超长整型
 int n,r[][],a[],fl=;

 inline int read()
 {
     int x=,f=;
     char c=getchar();
     while (c<||c>)
         f=c=='-'?-:,c=getchar();
     while (c>=&&c<=)
         x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
     return x*f;
 }

 void tree(int lt,int rt)
 {
     if (r[lt][rt])                            //某些oj会判结尾为空格的情况
     {
         if (!fl)
             printf("%d",r[lt][rt]),fl=;
         else
             printf(" %d",r[lt][rt]);
     }
     if (r[lt][r[lt][rt]-])                        //递归左子树
         tree(lt,r[lt][rt]-);
     if (r[r[lt][rt]+][rt])                        //递归右子树
         tree(r[lt][rt]+,rt);
 }

 int main()
 {
     int i,j,k,len;
     n=read();
     for (i=;i<=n;i++)                        //初始化为1，注意不可以memset
         for (j=;j<=n;j++)
             f[i][j]=;
     for (i=;i<=n;i++)
     {
         a[i]=read();
         f[i][i]=a[i];                        //每个点自己作为叶子节点时，
         r[i][i]=i;                            //根节点就是自己
     }
     /*                                //注意这种方法不可取
     for (i=1;i<=n-1;i++)
         for (j=i+1;j<=n;j++)
         {
             long long tmp=INF;
             for (k=i;k<=j;k++)
                 if (tmp<f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k])
                 {
                     tmp=f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k];
                     r[i][j]=k;
                 }
             f[i][j]=tmp;
         }
     */
     for (len=;len<=n;len++)                        //先定区间长度
         for (i=;i+len<=n;i++)                    //设起点，i+len为终点
         {
             long long tmp=-;                    //没必要太小
             for (k=i;k<=i+len;k++)                //寻根
                 if (tmp<f[i][k-]*f[k+][i+len]+a[k])
                 {
                     tmp=f[i][k-]*f[k+][i+len]+a[k];
                     r[i][i+len]=k;
                 }
             f[i][i+len]=tmp;
         }
     printf("%lld\n",f[][n]);
     tree(,n);
     return ;
 }

讲讲memset为什么不行，因为在c++中memset是按位来赋值的，一个int是4位，一个long long是8位（好像是吧），所以一次就会推了8个1，而不是想要的一个1。而对于清零和赋极值memset是很好用的。

 

嗯，就这样了。