Codeforces Round #441 (Div. 2)

A. Trip For Meal

题目描述:给出\(3\)个点,以及任意两个点之间的距离,求从\(1\)个点出发,再走\(n-1\)个点的最短路径。

solution
当\(n=1\)时,答案为\(0\),当\(n=2\)时,答案等于与开始点相连的两条边的最小值,当\(n>2\)时,答案等于与开始点相连的两条边的最小值+三条边最小值*\((n-2)\)
时间复杂度:\(O(1)\)

B. Divisiblity of Differences

题目描述:给出\(n\)个数,从中选出\(k\)个数,使得任意两个选出的数的差是\(m\)的倍数。输出其中一种方案。

solution
两个数的差是\(m\)的倍数,说明这两个数对\(m\)取余相等。所以可以统计对\(m\)取余每种余数有多少个,如果某一种余数超过或等于\(k\)个,则随意选择\(k\)个该种余数的数即是答案。
时间复杂度:\(O(n)\)

C. Classroom Watch

题目描述:给出一个数\(n\),求有哪些正整数\(x\),满足\(x\)的每一位的数的和加\(x\)等于\(n\)。

solution
因为\(n \leq 10^9\),所以\(x\)的每一位的数的和最大是\(90\),由于加法只能产生百位加一的效果,所以\(x\)的最高位到百位与\(n\)相同,或是\(x\)的百位比\(n\)少一。按此分成两种情况,然后枚举十位和个位即可。
时间复杂度:\(O(200)\)

D. Sorting the Coins

题目描述:一行\(n\)个'o',然后依次将第\(p[i]\)位的'o'变成'x',每次改变后进行以下操作:从左看到右,如果遇到第\(i\)位为'o',\(i+1\)位为'x',则交换这两位,然后从第\(i+1\)位继续往右看。如果某一轮看完后没有进行交换操作,则结束,输出看了多少轮,然后进行下一次的改变。

solution
手工画了样例后发现,除了最右边的连续的'x'不用动之外,其它'x'都要通过看一轮使它成为最右边连续的'x',所以只要维护最右边有多少个连续的'x'即可。
时间复杂度:\(O(n)\)

E. National Property

题目描述:给出\(n\)个字符串,字符串的每一位都是一个数字,数字有大小写之分,任意大写数字比任意小写数字小,同种数字比较时,数字小的比较小。现在把某种数字从小写变成大写,使得这\(n\)个字符串从小到大排好序,输出一种可行的方案。

solution
考虑相邻两个字符串,只要所有的相邻字符串都满足前者小于后者,则这\(n\)个数就已经从小到大排好。相邻字符串比较:从左到右找到第一个不同的位置:
1、如果前者为数字,后者为空,则无解;
2、如果前者为空,后者为数字,则不用任何操作;
3、如果前者数字大于后者数字,则前者数字一定要变为大写;
4、如果前者数字小于后者数字,则这两种数字要同为大写或小写。
根据最后一种情况,我们可以从后者数字连一条有向边到前者数字,表示如果某个点变为大写(true),则连出去的边指向的点都要为true,这就有点像2-SAT,但不同的是2-SAT可能有环,需要缩点,而这题一定不会有环。构图后按照2-SAT构造解的方式构造答案即可。
时间复杂度:\(O(n)\)

F. High Cry

题目描述:给出一个数组\(a[i]\),求数对\((x, y)\)的个数,\((x, y)\)满足\((a[x] | a[x+1] | ... | a[y])>max\){\(a[x], a[x+1], ..., a[y]\)}

solution
从表达式可知,最大值是一个重要的值。所以可以枚举一个位置\(i\)作为数对\((x, y)\)之间的最大值,那么先可以预处理出\(i\)左边离\(i\)最近的大于\(a[i]\)的位置\(L[i]\),以及\(i\)右边离\(i\)最近的大于\(a[i]\)的位置\(R[i]\),因为\(x\)一定在\((L[i], i]\)中选,\(y\)一定在\([i, R[i])\)中选。
那\(x,y\)可以选什么位置呢?因为最后或操作后的数要大于\(a[i]\),所以只要\([x, y]\)中存在一个数与\(a[i]\)或操作后大于\(a[i]\)即可,即存在一个数,\(a[i]\)的二进制第\(w\)位为\(0\),但它的第\(w\)位为\(1\)。所以我们可以预处理出\(i\)的左边离\(i\)最近的二进制第\(j\)位为\(1\)的位置\(Lone[i][j]\),以及\(i\)的右边离\(i\)最近的二进制第\(j\)位为\(1\)的位置\(Rone[i][j]\)。
这样\(x\)的可选范围是\((L[i], max\){\(Lone[i][j]\)}\(]\), \(y\)的可选范围是\([min\){\(Rone[i][j]\)}\(, R[i])\),而求答案时只要\(x,y\)有一个在可选范围内就是正确答案。
要注意的是\(a[i]\)相等的情况,可以规定\(a[L[i]] \geq a[i], a[R[i]]>a[i]\),这样就能避免重复计算。
时间复杂度:\(O(nlogn)\)

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