1260：【例9.4】拦截导弹(Noip1999)

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1260：【例9.4】拦截导弹(Noip1999)

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【题目描述】

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

【输入】

输入导弹依次飞来的高度。

【输出】

第一行：最多能拦截的导弹数；

第二行：要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

【输入样例】

389 207 155 300 299 170 158 65

【输出样例】

6
2

例题不怎么详的解：
这是一道十分经典的LIS动规题目，难点和重点在于需要查找多条LIS并进行统计。这题说是dp，实则更像是纯模拟。
我们抽丝剥茧，将本题数学框架讨论如下：
首先我们要求的这个最多能拦截的导弹数，也就是给出序列的LIS，
然后是拦截所有导弹最少要配备的系统数，也就是最少有几条公共子序列存在，注意，每条子序列必须是最优的。
这个最优是什么意思呢？也就是每套系统（每条子序列）必须拦截下最多的导弹（拥有最长最优的长度）。

本题的算法，我借鉴的是书上的解法，这个解法是可以优化空间复杂度的，但是因为我是初学者，所以写出代码后也不大懂优化，只能勉勉强强按书上的来。
第一问可以用dp解，第二问可以用贪心解。

算法分析：
设置a[j]代表原序列中第j个元素，b[j]表示长度为j的LIS，h[k]表示第k个系统当前可拦截导弹的最高高度；

1. 遍历已输入序列一次，maxx暂存当前导弹高度可用最长LIS的长度值，于是当前输入的导弹会使LIS长度maxx+1，并将此值存入b数组；
2. 记录最长LIS的长度；
3. 贪心计算本次导弹由哪一套系统拦截，若当前所有LIS均对当前输入导弹高度不可用，则新增一套系统拦截。

如果没看懂也无妨，后面会详细解释。

重头戏来了。

先初始化。

　dp部分很简单的：

 maxx=;
 for(j=;j<=i-;j++)
  if(a[j]>=a[i]&&b[j]>maxx) maxx=b[j];
 b[i]=maxx+;
 if(b[i]>m) m=b[i];

　大概就是每输入一个数，遍历一遍当前序列，找一遍当前可构成的不下降序列。

　当然如果仅仅是这样就只能求出LIS，求不出最少的系统数，于是我们需要一个贪心：

 x=;//当前使用的系统
 for(k=;k<=n;k++)
     {
         if(h[k]>=a[i])//首先你这个系统你得可用
          if(x==) x=k;
          else if(h[k]<h[x]) x=k;//选择当前可拦截高度最低的可用系统拦截
     }
     if(x==){
         n++;x=n;
     }
     h[x]=a[i];

　完美。

　样例代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 10010
#define MOD 2520
#define E 1e-12
/*This is an example*/
int i,j,k,x,n,maxx,m,a[N],b[N],h[N];

using namespace std;
int main()
{
    i=;n=;m=;
    memset(a,,sizeof(a));
    memset(b,,sizeof(b));
    memset(h,,sizeof(h));
    while(cin>>a[i])
    {
        maxx=;
        for(j=;j<=i-;j++)
         if(a[j]>=a[i]&&b[j]>maxx) maxx=b[j];
        b[i]=maxx+;
        if(b[i]>m) m=b[i];
        x=;
        for(k=;k<=n;k++)
        {
            if(h[k]>=a[i])
             if(x==) x=k;
             else if(h[k]<h[x]) x=k;
        }
        if(x==){
            n++;x=n;
        }
        h[x]=a[i];
        i++;
    }
    cout<<m<<endl<<n<<endl;
    return ;
}

2019-05-03 12:34:13