【学习笔记】RMQ-Range Minimum/Maximum Query (区间最小/最大值)
RMQ是一类询问区间最小/最大值的问题。
这类问题一般分成两类:静态区间(无修改),动态区间(带修改)。
对于动态区间查询最大/最小,我们显然可以用线段树来解决……
那么对于静态区间查询最大/最小的问题,我们一般用ST算法解决。(显然这个我们也可以用线段树)
这个算法相比于线段树来说有以下优点:
·程序实现比较简单。
·运行速度快,常数小。
接下来为了解释方便,我们假设我们要查询区间的最大值。
一.ST算法的实质
ST算法的实质是动态规划。
现在我们有一组数a[1…n];
我们定义f(i,j)表示从a[i]开始,向后长度为2j的区间中最大值。基于分治思想,我们可以把这段区间分为两部分,每一部分的长度恰好是2j-1。
那么显然有以下转移方程:
f(i,j)=max(f(i,j-1),f(i+2j-1,j-1);
这就是ST算法的实质,下面介绍ST算法的流程。
二.ST算法的流程
1.预处理
上面我们提到过,ST算法的实质就是动态规划。那么我们通过枚举i和j来预处理f数组,复杂度为O(nlogn)。
状态转移方程:f(i,j)=max(f(i,j-1),f(i+2j-1,j-1);
边界条件:f(i,0)=ai;为每个位置的元素值。
2.询问
如果我们要询问区间[l,r]的最大值,我们同样把这个区间分为两个部分,但这次我们将这个区间分为两个有交集区间。
根据f数组的第二维,我们找到一个数x满足2x≤r-l+1,然后把区间分为[l,l+2x-1]和[r-2x+1,r],显然这两个区间的并集就是我们要查找的区间[l,r]。
通过这样的处理,这两个区间的元素正好是2的正次幂,所以[l,r]区间的最大值为max(f(l,x),f(r-2x+1,x)),查询操作的复杂度是O(1)。
那么我们要求区间[l,r]的最大值,有以下表达式:
k=log2(r-l+1);
ans=max(f[l][k],f[r-2k+1][k]);
通过这些我们可以发现,ST算法适用于没有修改操作并且询问次数较多的RMQ问题。
三.一些技巧
我们可以用O(n)的额外时间预处理出log数组,这个过程是递推的,根据函数本身定义我们可以得到以下式子:
log(x)=log(x/2)+1;
四.代码
有N个数,M个询问,询问区间最大值:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,l,r,ds[],R[][];//ds即为log预处理,R表示f数组
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
ds[]=-;//方便递推
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&R[i][]);
ds[i]=ds[i>>]+;
}
for(int j=;j<=;j++)
{
for(int i=;i+(j<<)-<=n;i++)
{
R[i][j]=max(R[i][j-],R[i+(<<j-)][j-]);
}
}
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&l,&r);
int s=ds[r-l+];
printf("%d\n",max(R[l][s],R[r-(<<s)+][s]));
}
return ;
}
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