3D数学基础_图形与游戏开发

https://blog.csdn.net/popy007/article/list/2?t=1& //向量计算相关文章

https://www.baidu.com/link?url=48CwL-j6E_WG3nUxbBFVL9ejTlj8g-KfykMcBecP27EyuZ5YhLVktT5lT3MJ1ZTR48BdbODaCBKS2GMHSsI55T4YKwRz1_r-5MDQTWjDIaa&wd=&eqid=a068703d00428e9b000000065d0591f8 //3D图形学答案

https://wenku.baidu.com/view/abd34df7ec3a87c24128c455.html //3D图形学本书的课件

一.向量

向量没有位置概念，只有方向和模[大小]概念。任何一个在直角坐标轴上的分量为(x,y)的向量都相等。比如上图中的每个向量都表示为(-2，1)。
向量加法分量表示：a+b=(xa,ya)+(xb,yb)=(xa+xb,ya+yb)
向量减法分量表示：a-b=(xa,ya)-(xb,yb)=(xa-xb,ya-yb)

a(x,y)的单位向量为a/|a|，即(x,y)/sqrt(x^2 + y^2)。

//向量先单位化向量，再进行计算，因为向量还有方向性，不然会破坏方向性
//Debug.DrawLine(new Vector3(1, 0.5f, 0), new Vector3(1, 2, 0) * 2, Color.black, 5);
//Debug.DrawLine(new Vector3(1, 0.5f, 0), new Vector3(1, 2, 0), Color.yellow, 5);

应用：导弹追踪Demo

    public Transform player;

    public Transform missile;

    private Vector3 missileDir;    //导弹的速度向量

    public float missileRate=0.02f;

    private void Update()

    {

        missileDir = player.position - missile.position;

        missileDir = missileDir.normalized;

        Vector3 normalVec = Vector3.Cross(missileDir,missile.up);

        float vecAngle = Vector2.Angle(missileDir,missile.up);

        if (normalVec.z > 0)//顺时针

        {

            missile.transform.Rotate(Vector3.forward, -vecAngle);//顺时针转

        }

        else if (normalVec.z < 0)

        {

            missile.transform.Rotate(Vector3.forward, vecAngle );//逆时针转

        }

        missileDir *= missileRate;

        missile.position += missileDir;

    }

向量的应用

1.求与一个向量正交的另一个向量：

任给一个非零向量(x,y)，则它相对坐标轴逆时针转90度的正交向量为(-y,x),顺时针转90度的正交向量为(y,-x)。法线向量。

2. 计算一个向量b与另一向量a共线的两个相反的投影向量：

1、任给一个非零向量(x,y)，则它相对坐标轴逆时针转90度的垂直向量为(-y,x),顺时针转90度垂直向量为(y,-x)。

图2中，障碍物的向量是两个点相减得到的。

3.使用向量进行障碍检测的原理 [两条线段是否相交]

一个解线性方程组的有力工具 --- 克兰姆(Cramer)法则

线性方程组的定义：

如果线性方程组：

A11*X1 + A12*X2 + ... + A1n*Xn = b1

A21*X1 + A22*X2 + ... + A2n*Xn = b2

...................................

An1*X1 + An2*X2 + ... + Ann*Xn = bn

它的系数矩阵 A =

__               __

| A11 A12 ... A1n |

| A21 A22 ... A2n |

| ............... |

| An1 An2 ... Ann |

--               -- 

的行列式 |A| != 0 线性方程组有解，且解是唯一的，并且解可以表示为：

X1 = d1/d , X2 = d2/d , ... , Xn = dn/d （这就是/A/=d为什么不能为零的原因，不能做除数）

这里d就是行列式/A/的值，dn(n=1,2,3...)是用线性方程组的常数项b1,b2,.,bn替换系数矩阵中的第n列的值得到的矩阵的行列式的值，即：

常数项b1,b2,.bn替换矩阵中的第1列

     | b1 A12 ... A1n |

d1 = | b2 A22 ... A2n |

     | .............. |

     | bn An2 ... Ann |

常数项b1,b2,.bn替换矩阵中的第2列

     | A11 b1 ... A1n |

d2 = | A21 b2 ... A2n |

     | .............. |

     | An1 bn ... Ann | 

...

常数项b1,b2,.bn替换矩阵中的第n列

     | A11 A12 ... b1 |

dn = | A21 A22 ... b2 |

     | .............. |

     | An1 An2 ... bn |

---------------------

举着例子：

系数行列式：

https://max.book118.com/html/2017/0328/97598295.shtm

常数项：

例如2-D线性方程组：

(1) 4.0*X1 + 2.0*X2 = 5.0

(2) 3.0*X1 + 3.0*X2 = 6.0

根据上面的Cramer法则：

d是系数行列数：

     | 4.0 2.0 |

 d = | 3.0 3.0 | = 4.0*3.0 - 2.0*3.0 = 6.0 （2阶行列式的解法，'/'对角线相乘减去'/'对角线相乘）

常数项替换第1项，得到矩阵行列式的值：

     | 5.0 2.0 |

d1 = | 6.0 3.0 | = 5.0*3.0 - 2.0*6.0 = 3.0

常数项替换第2项，得到矩阵行列式的值：

     | 4.0 5.0 |

d2 = | 3.0 6.0 | = 4.0*6.0 - 5.0*3.0 = 9.0

则 

X1 = d1/d = 3.0/6.0 = 0.5

X2 = d2/d = 9.0/6.0 = 1.5  

---------------------

3.深入研究

2-D障碍碰撞检测的实质就是判断两条线段是否有交点，注意不是直线，是线段。现在从向量的角度，写出两条线段的方程。

现在有v1和v2两条线段，则根据向量加法：

v1e = v1b + s*v1
v2e = v2b + t*v2

v1b和v2b分别是两线段的一端。s,t是两个参数，它们的范围是[0.0,1.0],当s,t=0.0时，v1e=v1b,v2e=v2b；当s,t=1.0时,v1e和v2e分别是两线段的另一端。s,t取遍[0.0,1.0]则v1e和v2e取遍两线段的每一点【就是线段v1和v2的长度】。
那么我们要判断v1和v2有没有交点，就让v1e=v2e，看解出的s,t是不是在范围内就可以了：

s,t取遍[0.0,1.0]则v1e和v2e取遍两线段的每一点【就是线段v1和v2的长度】，假设相交则==》此时v1e 和v2e重合共线【v1e =v2e】

v1e = v2e
=> v1b + s*v1 = v2b + t*v2
移位后=> s*v1 - t*v2 = v2b - v1b
写成分量形式：

s*x_v1 - t*x_v2 = x_v2b - x_v1b
s*y_v1 - t*y_v2 = y_v2b - y_v1b

现在是两个方程式，两个未知数，则根据Cramer法则：v1(4,1) v2(2,3)

| x_v1 -x_v2 | | 4.0 -2.0 |
d = | y_v1 -y_v2 | = | 1.0 -3.0 | = -10.0

| x_v2b-x_v1b -x_v2 | | 5.0 -2.0 |
d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 | = | 2.0 -3.0 | = -11.0

s = d1/d = -11.0/-10.0 = 1.1 > 1.0
现在s已经计算出来，没有在[0.0,1.0]内，所以两线段没有交点，从图上看很直观。t没有必要再计算了。所以是物体与障碍没有发生碰撞。如果计算出的s,t都在[0.0,1.0]内，则把它们带入原方程组，计算出v1e或者v2e，它的分量就是碰撞点的分量。

坐标系：

<1. 惯性坐标系：

惯性坐标系的原点和物体坐标系的原点重合，但是轴和世界坐标系的轴平行。

从物体坐标系转到惯性坐标系只需要旋转，但是从惯性坐标系到世界坐标系需要平移。

<2. 嵌套坐标系

子物体，父物体

矩阵：

https://www.baidu.com/link?url=48CwL-j6E_WG3nUxbBFVL9ejTlj8g-KfykMcBecP27EyuZ5YhLVktT5lT3MJ1ZTR48BdbODaCBKS2GMHSsI55T4YKwRz1_r-5MDQTWjDIaa&wd=&eqid=a068703d00428e9b000000065d0591f8 //答案

一：矩阵的介绍

方阵：行数和列数相同的矩阵叫做方阵。

方阵的对角线元素：方阵中行号和列号相同的元素。m11 m22 m33 ,其他元素均为非对角线元素。

对角矩阵：除正对角线外，其他元素(非对角线元素)都为0，就是对角矩阵。

单位矩阵：满足对角矩阵的前提下，对角线元素为1，其他元素为0

正交矩阵：转置矩阵和原矩阵的乘积如果等于单位，则A称为正交矩阵。

转置矩阵：行列互换

Mij的转置矩阵表示，即沿着对角线元素翻折，对角线元素不变，其他元素沿对角线交换。转置矩阵行列交换

注意：对于向量来说，把行向量变成列向量，列向量变成行向量。

转置矩阵的引理：

二：矩阵的计算

矩阵和矩阵的乘法：

1.和标量相乘，则和矩阵的每一项分别相乘。

2.矩阵和矩阵相乘：r*n矩阵A乘以 n*c矩阵B，结果是r*c矩阵，记作矩阵C. A和B矩阵的n必须一致才能相乘。

记忆方法1：

矩阵C的任意元素Cij等于A的i行向量和B的j列向量的相乘的结果再相加。

记忆方法2：让A的行和B的列在C中对齐，相乘。

矩阵乘法不满足交换律，。

满足结合律(包括和向量的相乘)，

矩阵乘积求转置，相当于分别求转置，再交换顺序相乘. 或者

矩阵是怎么变换向量的：

行向量左乘，列向量右乘

一般使用行向量：书写方便 Direct中使用的是行向量

p,g,r是x,y,z三个轴的单位向量【基向量】。则线性变换后 v=xp+yq+zr;

向量矩阵变换后：把矩阵解释为基向量集合，则M矩阵将a转换到b

7.2.2 矩阵的形式

思考怎么构建一个矩阵来做特定的3D转换？？

上图看出矩阵的每一行，都可以理解为转换后的基向量，即矩阵的行向量就是变换后的基向量【对理解矩阵的构建很有帮助】。有反向构建矩阵的可能，给出期望的变换【旋转，缩放...】我们所做的是计算基向量的变换，并且把这个变换填入矩阵。

==》==》看出AB结果中的行向量确实是对A的基向量进行B变换的结果。

如图把基向量转换为q p处，则通过矩阵

M | 2 1|

|-1 2|

可见不仅旋转了坐标系，而且还拉伸了它。

知道期望的变换，来构建旋转矩阵的思想：

把基向量的x分量,即【1,0】*M=【2,1】==》M是2*1的矩阵,且旋转到P[2,1] ==》

矩阵代表的2D变换是：提取基向量【0，1】【1，0】顺时针旋转90度。

矩阵和线性变换

8.1 变换物体与变换坐标系

效果是等价的，但是变换物体，需要变换的物体的物体的顶点数比较多。

8.2.1 旋转

2D中的旋转

旋转矩阵：【三角函数】，旋转矩阵是正交的，可以通过正交矩阵的定义，验证后是正交矩阵。

矩阵的每一行，都可以理解为转换后的基向量，即矩阵的行向量就是变换后的基向量。

3D中的旋转

由于不考虑平移，这些直线和平面必须过原点

(1) 判定旋转方向【左手】：一定是大拇指指向旋转轴【如果绕x轴旋转，则x就是旋转轴】的正方向，四指弯曲就是旋转方向，这种手势下，四指弯曲的方向就是旋转的正方向。这个很重要，因为要根据这个判断旋转矩阵元素是否为负。

下图是数学上的叉乘右手的，但是Unity使用的是左手坐标系。

(2) 绕哪个轴旋转，就从这个轴的箭头处向下看，把3D坐标化简成2D坐标。

(3) 再利用左手坐标系【unity中就是左手坐标系】，大拇指，食指，中指代表 x,y,z轴，判断出旋转矩阵中哪个数是负的。

【下图中：如果绕x轴，则x的值不变，y轴的向量旋转后x不变，y和z都在坐标轴的正方向，则都为正。z轴的向量旋转后，x不变、y旋转到y的负方向、z在z的正方向】

下图绕x轴旋转-22度：下图中画的就是旋转方向。

8.2.3 3D中绕任意轴的旋转——矩阵的推导。

8.3 沿坐标轴的3D缩放矩阵

沿任意方向缩放推到：比较复杂

8.4 正交投影

向某一个轴投影

由于不考虑平移，这些直线和平面必须过原点

8.4.2 向任意直线投影

8.5 镜像

8.6 切变

8.7 变换的组合

可以结合矩阵来简化运算。

8.8 变换分类

<1. 线性变换：

<2. 仿射变换：

仿射变换是指线性变换后接着平移，线性变化是仿射变换的子集。

<3. 可逆变换

除了映射变换外，其他的线性变换都是可逆的。即乘以变换矩阵的逆矩阵。如果矩阵是奇异的，则变换不可逆。可逆矩阵的行列式不为0.若行列式等于0，则是奇异矩阵，奇异矩阵没有逆。

<4. 等角变换

变换前后两个向量夹角的大小和两个向量的方向都不发生改变。

<5. 正交变换

基本思想是轴保持互相垂直，而且不进行缩放变换。

<6. 刚体变换

只改变物体的位置和方向，不包括形状，长度，角度，面积。【镜像并不认为是刚体变换】

小结：变换关系对应表

求方阵的行列式：

具体步骤：主对角线相乘的和减去次对角线相乘的和，就等于行列式

方阵M的行列式记作 | M | ,非方阵矩阵的行列式是未定义的。

<1. 求2*2方阵的行列式记忆规则：

把主对角线的元素相乘，再把反对角线的元素相乘，再相减。

<2. 求3-3方阵的行列式的记忆规则

把3*3矩阵的行向量解释成向量：

<3. 求余子式：

<4. 求代数余子式

注意：余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。

例如：选了第一行，每个元素乘以对于的代数余子式【即除去该元素对于的行列元素剩下的元素】。

m11对应的代数余子式为正，M12对应的代数余子式为负.....。项号相加为正则代数余子式为正，否则为负数。

<4.1. 使用代数余子式计算 n*n矩阵的行列式：行列式在矩阵求逆和是否可逆时用到

==》

求代数余子式==》使用求余子式公式化简==》展开提取公因式【中文版的化简结果有误，给出英文版】==》结果

<5. 行列式的一些性质：

矩阵积的行列式等于行列式的积。

<6. 行列式的几何意义：

2D中行列式表示以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。基向量是不同面上过原点的向量。

3D：

方阵的逆

矩阵求逆：

矩阵求逆步骤：求代数余子式矩阵，再求代数余子式矩阵的转置矩阵，逆矩阵 = 标准伴随矩阵 / 行列式

<1. 并非所有矩阵都有逆。eg:若矩阵M中的某一行或者某一列的元素都是0，乘以任意矩阵V，则结果都是一个零矩阵。

可逆矩阵(非奇异矩阵) == 行列式不等于0

不可逆矩阵(奇异矩阵) == 行列式等于0 行列式是否等于0判断可逆

标准伴随矩阵：

具体步骤：求代数余子式矩阵，再求代数余子式矩阵的转置矩阵

M的标准伴随矩阵就是 M的代数余子式矩阵的转置矩阵。

例如：

矩阵M

1. ==》

2. ==》M的标准伴随矩阵就是代数余子式矩阵的转置

3.==》矩阵的逆矩阵标准伴随矩阵 / 行列式

逆矩阵的几何意义：

撤销变换回到原变化。

9.3 正交矩阵

如果方阵M是正交的，当且仅当M乘以它的转置M(t)矩阵等于单位矩阵【也可用于是否是正交矩阵的判断，矩阵中所有元素足够接近正交矩阵的允许的范围内就行】。

矩阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，也可以用于判断矩阵是否是正交矩阵。

==》则正交矩阵的转置矩阵=它的逆矩阵。所以在知道矩阵是正交的，则避免计算逆矩阵【例如旋转和镜像】。

正交矩阵的性质：

假设：

==》

==》M乘转置后

因为：点积 ab=|a||b|cos@

只有一个向量是单位向量时，则它与它自身的乘积是1.==》r1 r2 r3是单位向量【三个行向量】

只有两个向量互相垂直时，它们的点积为0。

==》

若一个矩阵时正交的，则每一行和列都是单位向量，且矩阵的所有行互相垂直

注意点：如果一组向量互相垂直，则这组向量被认为是正交基。如果向量都是是单位向量，

则就是标准正交基。正交矩阵就是标准正交基。

矩阵正交化：

由于坏数据或者浮点数运算的累计错误称为矩阵爬行。这个时候需要进行矩阵正交化，得到一个正交矩阵，尽量和原矩阵相同。

施密特正交化

9.4x4齐次矩阵

4x4齐次空间

齐次坐标投影到2D中w=1的平面上，(x/w,y/w).

4x4平移矩阵

因为3x3矩阵表示的是线性变换，不包含平移。所以扩展成4x4矩阵。

在4D中用矩阵乘法表示平移：

w=1 4D点表示把4D点投影到这个w平面上实际的3D点被认为是在4D中的w=1的“平面”上。

w=0 4D点表示“无限远点”，描述一个向量而不是一个位置。

行向量和矩阵乘法时左乘。

例如： 4D中一个无穷远点，乘以一个由便准3x3变换矩阵扩展成的4x4矩阵(不包含平移)

==》结果任然是一个无穷远点==》w分量能开关4x4矩阵的平移部分。

为何不取掉最后一列，直接用4x3矩阵，原因如下：

例子：对4x4 矩阵M求逆矩阵：

==》分解为变化矩阵和平移矩阵

==》

==》逆矩阵的几何意义是撤销原来的变化，则对于平移矩阵T就是相反变换。再求出R的逆矩阵

9.4.3 一般的仿射变换

现在有了4x4矩阵，可以构造包含平移在内的一般仿射变换矩阵了，例如：

大概步骤：

先把变换的”中心点“平移到原点，在利用之前的技术进行线性变换，再将中心点平移到原来的位置。

例如：

平移只改变了最后一行。

9.4.4 透视投影

w值有意义的4D坐标

3D中的透视投影任然是投影到2D平面上，但是，投影线不再平行。相交于一点，这个点就是投影中心。

因为投影中心在投影到平面的前边，所以看到的图像时反转的。

9.4.5 小孔成像

点P向z=-d平面投影

==》

==》 ==》

由于投影平面在投影点的后边，所以是负的。计算比较复杂，

计算机计算中可以不用管投影面，即把投影面移到投影点的前边，去掉烦人的负号。下图：

==》 ==》w=z/d

==》4D形式为

计算投影到投影面的点的3D坐标

步骤：构建投影矩阵，转换点到投影点，除以同源坐标，得到投影面上的投影点。

例如：

因为如果把单个点p(x,y,z) 向x=5的平面投影，即w=x/5 则4D形式为【x y z x/5】

根据上边构建的投影矩阵，计算点(107,-243,89)【有限远,w=1】在x=5平面上的投影点的3D坐标？

先计算投影后的点 ==》

除以同源坐标得到3维物理坐标==》

10章 3D中的方位与角位移

方位是相对于已知方位(通常称为单位方位或者源方位)的旋转来描述的。旋转的量是角位移。

10.3 欧拉角

10.4.1 四元数

一个四元数包含一个标量分量和一个向量分量

Quaternion类

12章几何图元

射线：

p0=p(0); //p0指定了射线的位置信息

p(1)=p0+td // dt: 增量向量，指定了射线的长度和方向 d是单位向量

t: 0~L //变换范围，即射线的长度

直线：

ax+by=d

d：是原点到直线的有符号距离，如果直线和n在原点的同一侧，则为正

图元的隐式表示法：

f(x，y，z) = 函数，我们能够隐式表示一个图元。如果点在这个图元【中心再原点的图元】上，则这个函数为真，否则为false.

一个变量的函数是单变量的是一条曲线。

直线的表示：p是直线上的任意一点。如果只给一个点的坐标，表示成向量，则表示过原点的向量。

<1. 用垂直向量到原点的距离定义直线。如果点 p 是 n 方向上的投影等于距离d。d是过原点垂直于直线的线段。

<2. 用斜率来表示

<3. <4.

球和圆

隐式表示： ||p-c||=r // c球心 p球上一点 r 半径

||向量的长度

轴对齐矩形边界框：

AABB: 轴对齐矩形边界框【把物体框起来的框】 OBB方向矩形边界框

应用：

使用矩形判断相交，需要判断。则矩形框A和矩形框B，中心点到边的距离和中的点在顶点的距离，分别另一个矩形框的这两个参数比较

边界球：

用于相交性测试，车的边界球和AABB.如下：

12.5 平面

平面方程可以用公式表示：

平面的隐式向量记法：

对公式2进行证明：

,向量n是法向量，设p，q都在平面上，满足方程

p*n=d ==》

==》 n*p=d n*q=d

==》n*p = n*q

==》n*(p-q)=0

==》n垂直于（p-q）向量，则n垂直于平面上任意向量。

知道三个点的坐标，求平面方程：

《1. n(p-q)=0 ==》法向量

《2. n*p=d ==》 d

《3. ax+by+cz=d ==》平面方程

判断点在平面的前边还是后边？

很简单，把这个点代入平面的方程，f(x,y,z)=0;
如果f(x,y,z)>0，则在前面
如果f(x,y,z)<0，则在后面
如果f(x,y,z)>=0，则在平面上

判断点到面的距离？或者平面上的最近点

《1. 找出从该点出发的平面的任意一条线段对应的向量。

《2. 求出该平面的法向量

《3. 斜线段对应的向量和这个面的法向量做点乘，就是斜线断的在该面的投影，即距离。

12.5 点到片面的距离

==》因为p*n=d 是平面方程，n*n=1

12.6 三角形和三角形网格

三角形：左手坐标系中，经常从“正面”看时，经常以顺时针方向列出的。v1 v2 v3

<1.海伦公式： S = 三边长度之和 / 2 =(L1+L2+L 3)/2

<2. 知道每条边的坐标：

对三角形三变得每一边，分别计算每条边和下x轴组成的梯形的有符号面积，有符号面积是边的端点是从左到右，面积为正，边是从右到左，则右到左为负数。

==》不管三角形在x的哪一边，都满足：

==》2D中顶点坐标计算三角形有符号面积：

<3. 平行四边形法：

两边向量e1,e2叉乘的大小【角度可以点乘得到】就是这两边组成的平行四边形的面积==》三角形面积等于平行四边形面积的一半=》

计算重心坐标：

<5. 简单多边形使用扇形分解算法计算。

如果知道每个点的坐标或者边的向量，则可以求出面积，结合海伦公式。

12.7 多边形

简单多边形和复杂多边形

有洞的复杂多边形可以通过接缝分割成简单多边形。

凸多边形：

性质：

<1.任意两个顶点的连线包含在多边形中。

<2. 一个沿着凸多边形移动时，在每个顶点的转向都是相同的。

<3. n个顶点的凸多边形，都可以分解成(n-2)个三角形，即内角和为（n-2)*180度，也可以反证该多边形位凸多边形.

<4. 对于一个封闭的凸多边形，全部补角之和为360度。

判断点在三角形内：

方法一: 内角和法或者面积法

【任意多边形都可或者分割后的面积相等】：三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为180度，那么点P在三角形内，否则不在。

方法二：同向法【对于凸多边形来说】

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。算出AP分别在三条边的同侧。

使用叉乘计算方位：

判断图中有几个三角形：

需要解决三角形个数问题时，按照点线规则构建相应的二维数组即可：

找出下图中有多少个三角形：

https://blog.csdn.net/qql2011/article/details/52938807

<1. 给每个顶点标序号，给每条线标序号。【对于n条线相交的，则先深度搜索点和线的关系】

再构建一个二维数组，以每个点为一维，元素是经过该点的线序号；

遍历所有三点的所有组合，判断能否组成三角形，判断条件为：三点两两共线且三点不共线。

三点两两共线且三点不共线【如果知道坐标的话，可以使用向量点乘】

Arrays.binarySearch(a，key); a - 要搜索的数组 key - 要搜索的值如果包含在数组中，返回搜索键的索引；否则返回 ( - 1)

A{ 1, 2, 3, 4 }, B{ 1, 5 }, B中每个元素是否在A中。可以看出1 1共线。

凹多边形：

至少有一个凹点的多边形。

13 章几何检测

13.3 平面上的最近点：

平面外一点p，和平面内任意一条直线的连线的直线，求该直线的在平面上的投影【点乘】，即最近线段和最近点。

13.4 圆和球上的最近点

13.6 相交线检测【比如碰撞检测】

静态测试

动态测试

例如：两条直线的隐式方程，交点的坐标是（x，y）

==》看同时满足两条线性方程的点的个数

13.8 在3D中两条射线相交性检测

假设射线是无限延伸的

共面时的相交

不共面时的相交

如果两条射线平行或者重合，则分母点乘为0. 否则可以判断r1(t1) r2(t2)是相聚最近的点，再通过距离可以判断射线是否相交。

==》

但是如果射线的长度有限，则还应该做边界检测。

总结：可以用于给出两条射线求最近点，和判断射线是否相交。

13.9 射线和平面的相交性检测

13.11 三个平面的相交性检测

任意平面平行，则交点就不存在，分母为0

13.12 射线和圆/球的相交线检测 p271//避开障碍物时，需要判断射线与球的相交性问题

判断射线L和此球是否相交：

t的变化长度是0~L，判断t是否有解。

圆心c,半径r,d是单位向量，t从0变化到L【t为交点】,L为射线长度，所要求的是交点t的值。

0t的长度： t=a-f0

向量e: ，将e投影到d上，这个向量的长度为a,计算公式 a=e*d.

根据小三角形中：

大三角形：

==》代入==》

==》因为f=a-t

==》如果根号下值为负，则射线和圆不相交

==》如果,则射线的起点在圆内。

此外不同的测试则有不同的行为。

<1 . 假设是相交的：

<2 . 建立方程组求解：

假设P是直线上和球的交点=>

P=A+tB; //直线上任何一点的表示方法

|P-C|平方=R平方

==》解二次方程组，求解即可

解二次方程组即可。

13.13 两个圆或者球的相交性检测

静态的：

静态的直接用两个圆的半径之和来判断

动态的：

假设一个球是静止的，组合向量，d=d2-d1，计算t的解的个数：【此处t是距离，也可以计算出时间】

使用二次方程判断根的公式：

较小的值是两个球接触时的t，较大的值时两个球脱离时的t值

13.15 球和平面的相交性检测

方法：计算球心到平面的距离d，d<r，则相交。

14章三角网格

14.1.1 索引三角形网格

程序结构：

优化：大多数图形卡不能支持提交索引三角形网，一般是三个顶点同时提交，这样共享顶点会多次提交，三角形用到一次就提交一次。内存和图像硬件的交互数据传输是瓶颈。所以许多Api支持三角形网格式以减少传输量，基本思想是排序点和面，使得已有的三角形不需要传输。

最高到最底优化方案：顶点缓存，三角带三角扇

14.1.4 顶点缓存：

API和硬件之间的一种传输策略。

14.1.5 优化三角带

三角带可用(n+2)个顶点存储n个面。

减少三角带数目：

因为分别渲染两个长为n的三角带所需的时间大于渲染一个长为2n的三角带。因此使用退化三角形【面积为0】连接多个三角带。

从而需要将整个网格置于一个连续的三角带中。

退化三角形【面积为0，无需渲染，不会影响效率】

上图包含了四个退化三角形，顶点7-8边是包含了两个退化三角形。发送给GPU时7-8边不发送。符合连续顶点表示一个三角形的约定。

发送：

14.1.6 三角扇

三角带和三角扇都是用(n+2)个顶点存储n个面。灵活度低，视情况来用。

14.2 额外信息

三角网可在三角形或着顶点级保存额外信息

14.2.1 纹理映射

通常在顶点保存纹理坐标

14.2.2 表面法向量

14.4.2 焊接顶点

删除其余的一个，剩一个。去除多余顶点。节省内存

14.4.3 面拆分

14.4.4

15 章图形数学